[论文解读] Counting cocircuits and convex two-colourings is #P-complete

Steven D. Noble, Noble, Steven D.|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明了计数图的凸双色划分（其中每种颜色类均诱导出连通子图）以及计数图中的余圈（cocircuits）均为 #P-完全问题。作者通过从已知的 #P-完全问题 #Monotone 2-SAT 出发，建立一系列归约链，经由 Max Cut、指定大小余圈（Required Size Cocircuits）、余圈（Cocircuits），最终归约到凸双色划分，通过多项式时间归约展示了这两个问题的计算不可约性。

ABSTRACT

We prove that the problem of counting the number of colourings of the vertices of a graph with at most two colours, such that the colour classes induce connected subgraphs is #P-complete. We also show that the closely related problem of counting the number of cocircuits of a graph is #P-complete.

研究动机与目标

• 解决 Makowsky 提出的关于图中凸双色划分计数问题的计算复杂性问题。
• 确立图中余圈计数问题是 #P-完全的，这是此前尚未正式证明的问题。
• 通过一系列已知的 #P-完全问题的归约，证明这两个问题在计算上是不可约的。
• 提供一条新颖的归约链，表明 #Monotone 2-SAT、Max Cut、指定大小余圈、余圈与凸双色划分在复杂性上等价。

提出的方法

• 通过构建一个图，其中每个子句对应一个9条边的环，并将其连接到一个中心顶点，实现从 #Monotone 2-SAT 到 #Max Cut 的多项式时间归约。
• 通过添加辅助顶点和边，将每个 #Max Cut 实例转换为 #Required Size Cocircuits 实例，以强制实现余圈结构和大小约束。
• 使用图的 l-拉伸构造，生成一组图，其余圈计数构成一个具有范德蒙德矩阵的线性方程组。
• 应用高斯消元法求逆范德蒙德方程组，从而从拉伸图的总余圈计数中恢复出各尺寸余圈的数量。
• 通过建立图中余圈与双色凸划分（使用两种颜色）之间的直接双射，证明此类双色划分的数量恰好是余圈数量的两倍。
• 利用归约链证明 #Convex Two-Colourings 是 #P-难的，且由于其属于 #P，因此为 #P-完全。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的凸双色划分计数问题是 #P-完全的吗？
• RQ2 图中余圈计数问题是 #P-完全的吗？
• RQ3 能否通过从 #Monotone 2-SAT 新型归约，证明 #Max Cut 是 #P-完全的？
• RQ4 能否利用线性代数方法，从图的 l-拉伸的总余圈计数中恢复出特定大小 k 的余圈数量？
• RQ5 图中余圈与凸双色划分之间是否存在直接的组合对应关系？

主要发现

• 图的凸双色划分计数问题是 #P-完全的，解决了 Makowsky 提出的一个开放问题。
• 图中余圈计数问题是 #P-完全的，确立了一个新的 #P-完全性结果。
• #Max Cut 问题是 #P-完全的，这是通过从 #Monotone 2-SAT 的新型归约所证明的。
• 对于图中大小为 $k$ 的余圈数量，可以通过对图的 $l$-拉伸后的总余圈计数，利用范德蒙德矩阵的高斯消元法，在多项式时间内恢复。
• 对于任意连通图，使用两种颜色的凸双色划分数量恰好是余圈数量的两倍，从而建立了两个问题之间的直接组合联系。
• 整个归约链——#Monotone 2-SAT → #Max Cut → #Required Size Cocircuits → #Cocircuits → #Convex Two-Colourings——确立了这五个问题均为 #P-完全。