[论文解读] Counting curves of any genus on rational ruled surfaces

Ravi Vakil|ArXiv.org|Sep 4, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文利用形变理论和格罗莫夫-威滕不变量，计算了有理规则曲面上任意亏格曲线的数量。通过将曲面形变到一个具有已知枚举不变量的更简单曲面，作者推导出一个递归公式，从而确定了所有有理规则曲面 $ \mathbb{F}_n $ 上的亏格 $ g $ 格罗莫夫-威滕不变量，将卡波拉索-哈里斯方法从平面曲线推广到了这些曲面上的高亏格曲线。

ABSTRACT

In this paper we study the geometry of the Severi varieties parametrizing curves on the rational ruled surface $\fn$. We compute the number of such curves through the appropriate number of fixed general points on $\fn$, and the number of such curves which are irreducible. These numbers are known as Severi degrees; they are the degrees of unions of components of the Hilbert scheme. As (i) $\fn$ can be deformed to $\eff_{n+2}$, (ii) the Gromov-Witten invariants are deformation-invariant, and (iii) the Gromov-Witten invariants of $\eff_0$ and $\eff_1$ are enumerative, Theorem ef{irecursion} computes the genus $g$ Gromov-Witten invariants of all $\fn$. (The genus 0 case is well-known.) The arguments are given in sufficient generality to also count plane curves in the style of L. Caporaso and J. Harris and to lay the groundwork for computing higher genus Gromov-Witten invariants of blow-ups of the plane at up to five points (in a future paper).

研究动机与目标

• 计算有理规则曲面 $ \mathbb{F}_n $ 上任意亏格曲线的数量，这类代数曲面在枚举几何中具有重要意义。
• 通过格罗莫夫-威滕不变量的形变不变性，确定塞韦里次数——即通过固定数量的一般点的此类曲线的数量。
• 将卡波拉索和哈里斯最初为计数平面曲线而开发的方法，推广至规则曲面上的高亏格曲线。
• 为未来工作中计算 $ \mathbb{P}^2 $ 在最多五个点处的 blown-up 曲面的高亏格格罗莫夫-威滕不变量奠定理论基础。

提出的方法

• 利用格罗莫夫-威滕不变量的形变不变性，将 $ \mathbb{F}_n $ 上的不变量与更易计算的 $ \mathbb{F}_{n+2} $ 上的不变量关联起来。
• 将 $ \mathbb{F}_0 $ 和 $ \mathbb{F}_1 $ 的已知枚举格罗莫夫-威滕不变量作为递归的初始条件。
• 构建一个递归公式（定理 ef{irecursion}），用于计算所有 $ n $ 和 $ g $ 的 $ \mathbb{F}_n $ 上的亏格 $ g $ 格罗莫夫-威滕不变量。
• 利用参数化 $ \mathbb{F}_n $ 上曲线的塞韦里簇的几何结构，将枚举计数与希尔伯特纲的度数关联起来。
• 确保方法具有普遍性，以便可推广至计算 $ \mathbb{P}^2 $ 在最多五个点处的 blown-up 曲面的曲线计数。
• 利用 $ \mathbb{F}_n $ 可形变为 $ \mathbb{F}_{n+2} $ 的事实，且在此类形变下格罗莫夫-威滕不变量保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定一般点条件的前提下，如何计算有理规则曲面 $ \mathbb{F}_n $ 上任意亏格曲线的数量？
• RQ2 $ \mathbb{F}_n $ 的格罗莫夫-威滕不变量与 $ \mathbb{F}_{n+2} $ 的不变量之间有何关系，这种关系如何用于计算？
• RQ3 卡波拉索和哈里斯用于计数平面曲线的方法能否推广至规则曲面上的高亏格曲线？
• RQ4 参数化 $ \mathbb{F}_n $ 上曲线的塞韦里簇的结构是怎样的，它与枚举不变量有何关联？
• RQ5 当直接计算困难时，如何利用形变理论计算 $ \mathbb{F}_n $ 的格罗莫夫-威滕不变量？

主要发现

• 本文建立了递归公式（定理 ef{irecursion}），可计算所有有理规则曲面 $ \mathbb{F}_n $ 上的亏格 $ g $ 格罗莫夫-威滕不变量，将结果从广为人知的亏格 0 情况推广至更高亏格。
• 通过形变不变性和 $ \mathbb{F}_0 $、$ \mathbb{F}_1 $ 的已知不变量，确定了在 $ \mathbb{F}_n $ 上通过所需数量的一般点的亏格 $ g $ 曲线的数量。
• 计算了塞韦里次数——即参数化此类曲线的希尔伯特纲分量的度数——对所有 $ g $ 和 $ n $ 成立，提供了完整的枚举答案。
• 该方法具有足够的通用性，可推广至计算 $ \mathbb{P}^2 $ 在最多五个点处的 blown-up 曲面的高亏格格罗莫夫-威滕不变量，如未来工作所概述。
• 结果证实格罗莫夫-威滕不变量是形变不变的，且 $ \mathbb{F}_n $ 可形变为 $ \mathbb{F}_{n+2} $，在此过程中不变量保持不变。
• 本文为有理曲面上的枚举几何提供了基础框架，并为高亏格下的曲线计数提供了明确的计算工具。