[论文解读] Counting cusp forms by analytic conductor

Farrell Brumley, Djordje Milićević|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用 7

一句话总结

该论文为在数域 F 上的 GL_n 上按解析导子 Q 排序的单位酉尖点自守表示数量建立了渐近公式，证明该计数随 Q^{n+1} 增长，且无对数因子。在 n ≥ 3 时，若在阿代尔位置满足球面对称性假设，主项常数可几何解释，并与一个猜想的 Sato–Tate 测度相关联；方法还给出了具有对数节省的均匀 Weyl 公式，以及对非温和服务谱的强界。

ABSTRACT

Let $F$ be a number field and $n\geqslant 1$ an integer. The universal family is the set $\mathfrak{F}$ of all unitary cuspidal automorphic representations on ${ m GL}_n$ over $F$, ordered by their analytic conductor. We prove an asymptotic for the size of the truncated universal family $\mathfrak{F}(Q)$ as $Q ightarrow\infty$, under a spherical assumption at the archimedean places when $n\geqslant 3$. We interpret the leading term constant geometrically and conjecturally determine the underlying Sato--Tate measure. Our methods naturally provide uniform Weyl laws with logarithmic savings in the level and strong quantitative bounds on the non-tempered discrete spectrum for ${ m GL}_n$.

研究动机与目标

• 确定在固定数域 F 上的 GL_n 上，按解析导子 Q 排序的单位酉尖点自守表示的通用族的渐近增长速率。
• 以几何方式解释渐近计数中主项常数，类比于有理点计数中的高度 zeta 函数。
• 推测控制这些表示分布的底层 Sato–Tate 测度。
• 利用迹公式方法，为 GL_n 建立具有水平对数节省的均匀 Weyl 公式。
• 使用迹公式技术，对 GL_n 的非温和服务谱获得强定量界。

提出的方法

• 作者使用 Arthur 迹公式分析数域 F 上 GL_n 上自守形式谱侧，重点关注离散谱和例外谱。
• 他们采用谱局部化函数和 Paley–Wiener 估计，以控制离散谱的贡献，特别是非温和服务区域。
• 一个关键技术步骤涉及将谱和在李代数对偶的格点上分解，利用覆盖半径 1/R 局部化谱参数。
• 该方法依赖于有界局部加权轨道积分，并构造满足 Paley–Wiener 条件的测试函数，从而控制迹公式的几何侧。
• 采用秩的归纳法，将问题约化为更小的一般线性群，其中 GL_m 的球面对称情形通过归纳假设无条件处理。
• 分析中将解析导子作为高度函数，将其与 L-函数的复杂度及逆定理联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解析导子 Q 趋于无穷时，GL_n(F) 上单位酉尖点自守表示数量的渐近增长速率是什么？
• RQ2 渐近计数中主项常数如何几何解释？它对自守形式分布的底层结构有何暗示？
• RQ3 控制这些表示在极限下等分布的猜想 Sato–Tate 测度是什么？
• RQ4 能否使用迹公式方法，为 GL_n 建立具有水平对数节省的均匀 Weyl 公式？
• RQ5 使用谱方法，能否对 GL_n 的非温和服务谱获得定量界？

主要发现

• 截断的通用族 F(Q) 的基数随 Q → ∞ 以 Q^{n+1} 速率渐近增长，且无对数因子，证实了 Michel 和 Venkatesh 的一个猜想。
• 渐近计数中的主项常数可几何解释，类比于有理点计数中的高度 zeta 函数。
• 作者猜想，底层 Sato–Tate 测度对应于在解析导子排序下 GL_n(F) 的单位酉对偶上的 Plancherel 测度。
• 该方法给出了 GL_n 的均匀 Weyl 公式，且在水平方向具有对数节省，优于先前的界。
• 对 GL_n 的非温和服务谱获得了强定量界，误差项通过谱局部化和 Paley–Wiener 估计得到控制。
• 证明依赖于归纳法以及在 n ≥ 3 时对阿代尔位置的球面对称性假设，该假设确保仅球面对称表示对主项有显著贡献。