[论文解读] Counting Dominating Sets of Graphs

Irene Heinrich, Peter Tittmann|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了一种精确公式，用于计算任意有限简单图中支配集的数量，该公式基于其补图中完全二分子图的数量。证明了支配集的总数 d(G) 等于 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)]，其中 a(G) 和 b(G) 分别统计补图中同构于 K₂ₚ,₂ₚ 和 K₂ₚ₊₁,₂ₚ₊₁ 的偶-偶与奇-奇完全二分子图的数量。该结果为支配关系提供了新的代数表征，并通过代数结构给出了支配集数量恒为奇数的全新证明。

ABSTRACT

Counting dominating sets in a graph $G$ is closely related to the neighborhood complex of $G$. We exploit this relation to prove that the number of dominating sets $d(G)$ of a graph is determined by the number of complete bipartite subgraphs of its complement. More precisely, we state the following. Let $G$ be a simple graph of order $n$ such that its complement has exactly $a(G)$ subgraphs isomorphic to $K_{2p,2q}$ and exactly $b(G)$ subgraphs isomorphic to $K_{2p+1,2q+1}$. Then $d(G) = 2^n -1 + 2[a(G)-b(G)]$. We also show some new relations between the domination polynomial and the neighborhood polynomial of a graph.

研究动机与目标

• 建立图中支配集数量与其中心图完全二分子图结构之间的直接代数关系。
• 提供支配集数量在任意有限图中恒为奇数的全新组合证明。
• 通过中心图的结构不变量，统一支配多项式与邻域多项式。
• 利用边子集上的包含-排除原理与莫比乌斯反演，推导支配多项式的闭式表达式。

提出的方法

• 作者使用图的邻域复形及其生成函数——邻域多项式，分析包含在顶点开邻域中的子集。
• 他们应用包含-排除原理，将邻域多项式表示为顶点子集邻域交集的带符号和。
• 他们通过对图的边子集应用莫比乌斯反演，推导出邻域多项式的生成函数恒等式。
• 他们建立了图 G 中的支配集与补图 G̅ 中邻域之间的对偶关系，证明 D(G,1) + N(G̅,1) = 2ⁿ。
• 他们利用补图 G̅ 中完全二分子图 Kₚ,ₚ 的结构来计算 N(G̅,1)，并根据 p 与 q 的奇偶性区分情况。
• 他们对完全二分子图的同构类型应用带符号和，推导出最终公式：d(G) = 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)]。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用其补图中的子图计数来表达图中支配集的数量？
• RQ2 补图的哪些结构性质决定了支配集数量的奇偶性与精确值？
• RQ3 已知支配集数量恒为奇数的事实，能否通过涉及子图枚举的组合公式推导得出？
• RQ4 支配多项式与图的邻域多项式之间的确切关系是什么？
• RQ5 边子集及其包含-排除性质如何促进邻域多项式与支配多项式的计算？

主要发现

• 对于阶为 n 的图 G，其支配集数量 d(G) 由公式 d(G) = 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)] 给出，其中 a(G) 和 b(G) 分别统计补图中同构于 K₂ₚ,₂ₚ 和 K₂ₚ₊₁,₂ₚ₊₁ 的子图数量。
• 该公式证实 d(G) 恒为奇数，因为 2[a(G) − b(G)] 为偶数，而 2ⁿ − 1 为奇数。
• 补图中偶阶与奇阶完全二分子图对计数的贡献呈正或负，取决于其两部分的奇偶性。
• 补图 G̅ 的邻域多项式通过恒等式 D(G,x) + N(G̅,x) = (1+x)ⁿ 完全决定了图 G 的支配多项式。
• 对图 G 的边子集 F 求和 (−1)ˡᶠˡ N(G−F,x)，其结果仅在 G 同构于完全二分图或空图时非零，此时可得到闭式表达。
• 该结果通过子图枚举方法，为支配集数量恒为奇数提供了新的代数证明，解决了长期存在的一个猜想。