[论文解读] Counting Fixed-Length Permutation Patterns

Cheyne Homberger|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2012

Optimization and Packing Problems被引用 6

一句话总结

本文研究了固定长度排列模式的计数，特别关注随机排列中的(n−1)-模式。通过扩展Kaplansky和Wolfowitz于1945年的结果，推导出大模式数量的精确期望与方差，并引入一种基于最小间隙大小的几何构造方法，以最大化不同模式的数量，表明最小间隙大小较高的排列在固定长度下可实现最优的模式计数。

ABSTRACT

We consider the problem of packing fixed-length patterns into a permutation, and develop a connection between the number of large patterns and the number of bonds in a permutation. Improving upon a result of Kaplansky and Wolfowitz, we obtain exact values for the expectation and variance for the number of large patterns in a random permutation. Finally, we are able to generalize the idea of bonds to obtain results on fixed-length patterns of any size, and present a construction that maximizes the number of distinct large patterns.

研究动机与目标

• 确定在随机n-排列中(n−1)-模式数量的精确期望与方差。
• 将排列中“键”的概念推广至任意大小的固定长度模式。
• 通过优化最小间隙大小，构造出能最大化不同大模式数量的排列。
• 解决Herb Wilf关于在长度为n的排列中最大化模式数量的开放问题。
• 探讨排列的最小间隙大小与其包含的固定长度模式数量之间的关系。

提出的方法

• 将Kaplansky和Wolfowitz于1945年关于记录统计结果的结论扩展至推导随机排列中(n−1)-模式数量的精确矩。
• 引入函数del(p,i)以删除排列p的第i个元素，并重新标记以形成(n−1)-模式。
• 使用逆函数ins(q,j,k)将值插入(n−1)-排列中，以重建n-排列。
• 定义跨度函数span_p(i,j)与距离函数d_p(i,j)，以分析模式多重性的结构约束。
• 利用以整数格点为中心的倾斜正方形对平面进行铺砌，以建模最小间隙大小较大的排列。
• 证明：达到最大最小间隙大小的排列（例如π^(k)）可使(n−k)-模式的数量最大化，其中k为固定值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在均匀随机的n-排列中，(n−1)-模式数量的精确期望与方差是多少？
• RQ2 如何将排列中“键”的概念推广至任意大小的固定长度模式？
• RQ3 何种排列结构可使给定k下(n−k)-模式的数量最大化？
• RQ4 能否基于最小间隙大小的几何构造，生成具有最大模式计数的固定长度模式排列？
• RQ5 排列的最小间隙大小如何影响其包含的固定长度模式数量？

主要发现

• 在随机n-排列中，(n−1)-模式数量的期望与方差被精确计算，推广了Kaplansky和Wolfowitz于1945年的结果。
• 对于任意k ≥ 2，排列π^(k)及其逆排列是具有最小间隙大小k的最短排列，其长度为(k−1)²−2。
• 若排列p的最小间隙大小mg(p) = k+1，则其(n−k)-模式数量恰好为binomial(n,k) − w_k，其中w_k为满足d_p(i,j) = k+1的对(i,j)的数量。
• 排列π^(k)满足对所有0 ≤ j ≤ k−2，有M_j(p) = binomial(n,j)，即在小j值下实现了j-模式数量的最大可能值。
• 任何长度小于(k−1)²−2的排列均无法在所有j ≤ k−2下实现相同的最大模式计数。
• 通过构造最小间隙大小最大的排列，可获得固定长度模式计数的最优结果，尽管总模式计数更多取决于平均间隙大小。