[论文解读] Counting hyperelliptic curves in Abelian surfaces with quasi-modular forms

Simon Charles Florian Rose|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文利用奇点解析猜想（crepant resolution conjecture）与Yau-Zaslow公式，推导出极化阿贝尔曲面上（模平移）双椭圆曲线数量的生成函数。该文将计数结果以麦克马洪（MacMahon）的广义除数函数形式表达，并证明这些生成函数构成拟模形式，从而在枚举几何与模形式理论之间建立了深刻联系。

ABSTRACT

In this thesis we produce a generating function for the number of hyperelliptic curves (up to translation) on a polarized Abelian surface using the crepant resolution conjecture and the Yau-Zaslow formula. We present a formula to compute these in terms of P. A. MacMahon's generalized sum-of-divisors functions, and prove that they are quasi-modular forms.

研究动机与目标

• 为极化阿贝尔曲面上（模平移）的双椭圆曲线数量构建生成函数。
• 通过奇点解析猜想，将双椭圆曲线的枚举不变量与模形式联系起来。
• 以P. A. 麦克马洪的广义除数和函数表达曲线计数。
• 证明所得生成函数为拟模形式。

提出的方法

• 利用奇点解析猜想，将奇异代数簇的不变量与光滑解析解的不变量关联起来。
• 应用Yau-Zaslow公式，计算由解析得到的卡拉比-丘三fold中理性曲线的数量。
• 将理性曲线的计数结果转化为原始阿贝尔曲面上双椭圆曲线的计数。
• 采用P. A. 麦克马洪的广义除数和函数，显式表达枚举不变量。
• 分析生成函数的模性质，以确立其拟模性。
• 运用极化阿贝尔曲面及其解析的代数几何技术，推导出该公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地计算极化阿贝尔曲面上（模平移）双椭圆曲线的数量？
• RQ2 Yau-Zaslow公式与阿贝尔曲面上双椭圆曲线计数之间存在何种联系？
• RQ3 麦克马洪的广义除数和函数以何种方式参数化这些曲线的计数？
• RQ4 为何这些曲线计数的生成函数表现出拟模性质？
• RQ5 奇点解析猜想如何促进这些不变量的计算？

主要发现

• 利用奇点解析猜想，显式构造出极化阿贝尔曲面上双椭圆曲线数量的生成函数。
• 双椭圆曲线的计数被表达为P. A. 麦克马洪广义除数和函数的线性组合。
• 证明了这些曲线计数的生成函数为拟模形式。
• 该结果在双椭圆曲线的枚举几何与模形式理论之间建立了精确联系。
• 该方法提供了一种系统化方式，以算术函数与模形式数据计算双椭圆曲线的数量。