[论文解读] Counting invariants for the ADE McKay quivers

Amin Gholampour, Yunfeng Jiang|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文为与二面体多面体群相关的ADE McKay箭头表示中的计数不变量建立了一个壁穿刺框架，通过稳定性条件将唐纳森-托马斯（DT）、潘达里帕德-托马斯（PT）和非交换DT（NCDT）不变量联系起来。它推导出 $ Y = S \times \mathbb{C} $ 的PT划分函数的闭式表达式，其中 $ S $ 为ADE解析，以对应ADE根系的正根表示，并在DT/PT对应关系假设下验证了GW/DT/NCDT对应关系。

ABSTRACT

We consider the moduli space of the McKay quiver representations associated to the binary polyhedral groups G < SU(2) < SU(3). The derived category of such representations is equivalent to the derived category of coherent sheaves on the corresponding ADE resolution Y=G-Hilb(C^3). Following the ideas of Nagao and Nakajima, by making particular choices of parameters in the space of stability conditions on the equivalent derived categories above, we recover Donaldson-Thomas (DT), Pandharipande-Thomas (PT) and Szendroi (NCDT) moduli spaces. We also compute the Gromov-Witten (GW) partition function of Y directly and express the result in terms of the root system of the associated ADE Dynkin diagram. We then verify the conjectural GW/DT/NCDT-correspondence by assuming the DT/PT-correspondence. The Szendroi invariants are the same as the orbifold Donaldson-Thomas invariants for C^3/G defined by Bryan. This will allow us to verify the Crepant Resolution Conjecture for the orbifold Donaldson-Thomas theory in this case.

研究动机与目标

• 为ADE解析 $ Y = G\text{-Hilb}(\mathbb{C}^3) $ 上凝聚层的导出范畴中的计数不变量建立壁穿刺框架。
• 通过 McKay 箭头表示上的稳定性条件，关联 DT、PT 和 NCDT 不变量。
• 直接计算 $ Y $ 的格罗莫夫-威滕划分函数，并以对应 ADE 根系的形式表达。
• 在 DT/PT 对应关系假设下，验证 GW/DT/NCDT 对应关系。
• 在 ADE McKay 箭头设定下，证明轨道 DT 不变量的平坦解析化猜想。

提出的方法

• 利用 $ Y = G\text{-Hilb}(\mathbb{C}^3) $ 上凝聚层的导出范畴与 $ G \to SU(2) $ 的 McKay 箭头表示的导出范畴之间的等价性。
• 通过在稳定性条件空间中选择特定稳定性参数，应用类似 Nagao-Nakajima 的壁穿刺公式。
• 将 PT 划分函数构造为 ADE 根系正根的乘积，指数由根的重数和 $ (-q)^m $ 因子决定。
• 通过将 $ -q = e^{i\bar{\nu}} $ 代入 PT 划分函数，表达格罗莫夫-威滕划分函数，符合 GW/PT 对应关系。
• 通过将根格与 $ H_2(Y, \mathbb{Z}) $ 的识别，参数化曲线类，并将不变量与根系数据关联。
• 应用切割引理和壁穿刺公式，分析非通用壁，并在不同壁间计算不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $ Y = G\text{-Hilb}(\mathbb{C}^3) $ 的导出范畴中的壁穿刺公式，关联 ADE McKay 箭头的 DT、PT 和 NCDT 不变量？
• RQ2 当 $ S $ 为 ADE 解析时，$ Y = S \times \mathbb{C} $ 的潘达里帕德-托马斯划分函数的显式形式是什么？
• RQ3 Y 的格罗莫夫-威滕划分函数如何与关联 ADE Dynkin 图的根系相关联？
• RQ4 能否通过壁穿刺和稳定性参数分析，在此非环状设定下验证 GW/DT/NCDT 对应关系？
• RQ5 轨道唐纳森-托马斯不变量的平坦解析化猜想在 ADE McKay 箭头情形下是否成立？

主要发现

• Y = S \times \mathbb{C} 的 PT 划分函数由 $ Z^{S\times\mathbb{C}}_{PT}(q;\bt) = \textstyle\bigprod_{\beta \neq 0} \bigprod_{m=1}^\f \big(1 - \bt^\beta (-q)^m\big)^{-m} $ 给出，其中 $ \beta $ 遍历 ADE 根系的正根。
• 通过将 $ -q = e^{i\bar{\nu}} $ 代入 PT 划分函数，获得格罗莫夫-威滕划分函数，确认了 GW/PT 对应关系。
• 证明了 McKay 箭头的 NCDT 不变量与 Bryan 定义的 $ \mathbb{C}^3/G $ 的轨道 DT 不变量一致。
• 壁穿刺公式允许通过在稳定性区域间反复应用，从 NCDT 生成函数推导出完整的 PT 划分函数。
• PT 划分函数的结构与 $ D_5 $ 根系一致，每个因子对应于 $ D_5 $ 根系中的一个正根。
• 结果在 DT/PT 对应关系假设下验证了 GW/DT/NCDT 对应关系，并证明了该情形下轨道 DT 理论的平坦解析化猜想。