[论文解读] Counting lattice walks by winding angle

Andrew Elvey Price|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文提出了一种对克雷瓦雷斯格栅的新型分解方法，以推导出按长度、终点和旋转角计数的格栅行走生成函数的功能方程，并利用雅可比θ函数求解这些方程。主要贡献是为受限于角度为$\frac{2\pi}{3}$的锥形区域的行走给出了精确的生成函数表达式，从而实现渐近分析与代数分析，且该结果可推广至正方形、三角形和王格栅。

ABSTRACT

We address the problem of counting walks by winding angle on the Kreweras lattice, an oriented version of the triangular lattice. Our method uses a new decomposition of the lattice, which allows us to write functional equations characterising a generating function of walks counted by length, endpoint and winding angle. We then solve these functional equations in terms of Jacobi theta functions. By using this result in conjunction with the reflection principle, we count walks confined to a cone of opening angle any multiple of $\fracπ{3}$, allowing us to extract asymptotic and algebraic information for these walks. Our method and results extend analogously to three other lattices, including the square lattice and triangular lattice. On the square lattice, most of our results were derived by Timothy Budd in 2017, so the current work can be seen as an extension of Budd's results to the three other lattices that we consider. Budd's method of deducing these results was very different, as it was based on an explicit eigenvalue decomposition of certain matrices counting paths in the lattice.

研究动机与目标

• 开发一种新方法，用于在克雷瓦雷斯格栅（一种有向三角格栅）上按旋转角计数格栅行走。
• 推导编码行走长度、终点和旋转角的生成函数的功能方程。
• 利用雅可比θ函数求解这些功能方程，并将结果应用于受限于锥形区域的行走。
• 将该方法扩展至其他格栅，包括正方形格栅、三角形格栅和王格栅，且结果与正方形格栅的已有研究一致。
• 分析角度为$\frac{2\pi}{3}$及其倍数的锥形区域内行走的生成函数的代数性质与渐近性质。

提出的方法

• 引入一种新的格栅分解方法，以建模克雷瓦雷斯格栅上的行走，并推导出生成函数的功能方程。
• 定义与雅可比θ函数$\vartheta(z,\tau)$的导数相关的幂级数$T_k(u,q)$，这些级数编码了生成函数的解。
• 利用功能方程，将单元中心克雷瓦雷斯行走的生成函数$E(t,s)$和顶点中心行走的生成函数$\tilde{E}(t,s)$用$T_k$级数表示。
• 应用反射原理，通过单位根滤波器将锥形区域内行走的生成函数与完整生成函数$\tilde{E}(t,s)$关联起来。
• 利用$\tilde{E}(t,s)$的结构及其在单位根处的行为，推导出锥形受限行走的代数性与渐近行为。
• 使用积分变换与傅里叶反演，提取出开口角为$\frac{2\pi}{k_2 - k_1}$的锥形区域内行走的系数渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过功能方程系统性地在克雷瓦雷斯格栅上按旋转角计数格栅行走？
• RQ2 在单元中心克雷瓦雷斯格栅上，起止于原点附近的行走，其生成函数的精确形式为何？该形式以长度和旋转角为参数。
• RQ3 如何应用反射原理，提取受限于角度为$N\pi/3$的锥形区域的行走的生成函数？
• RQ4 在何种条件下，锥形受限行走的生成函数是代数的或D-有限的？
• RQ5 开口角为$\beta = \frac{(k_2 - k_1)\pi}{3}$的锥形区域内行走的数量，其精确渐近行为是什么？

主要发现

• 单元中心克雷瓦雷斯行走的生成函数$E(t,s)$以$T_k(u,q)$级数表示，其中$q(t)$满足一个涉及$T_1(1,q^3)$和$T_0(q,q^3)$的非平凡函数方程。
• 顶点中心克雷瓦雷斯行走的生成函数$\tilde{E}(t,s)$通过$T_k$级数推导得出，且当$s$为不等于三次单位根的单位根时，其在$t$上为代数函数。
• 当$s = e^{i\alpha}$且$\alpha \in (0,\pi) \setminus \{2\pi/3\}$时，系数$[t^n]\tilde{E}(t,s)$的渐近行为为$n^{-\frac{3\alpha}{2\pi} - 1} 3^n$，且具有复系数。
• 开口角为$\frac{2\pi}{3}$的锥形区域（例如，步长集合为$\{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}$的四分之一平面行走）的生成函数是代数的，与已知结果一致。
• 对于开口角为$\frac{5\pi}{6}$的锥形区域，生成函数$\tilde{E}_{0,-2,3}(t)$是代数的，且可表示为五次单位根上$\tilde{E}(t,\omega)$的和。
• 锥形受限行走的渐近增长为$[t^n]\tilde{E}_{k,k_1,k_2}(t) \sim C n^{-1 - \frac{3}{k_2 - k_1}} 3^n$，其中$C$以伽马函数和三角函数显式表示。