[论文解读] Counting matrices over finite fields with support on skew Young and Rothe diagrams

Aaron J. Klein, Joel Brewster Lewis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Coding theory and cryptography被引用 1

一句话总结

本文研究了在有限域上，具有指定秩且避开特定条目支持的矩阵数量，聚焦于斜杨图与罗特图。本文将哈格兰的多项式性结果推广至斜杨图的补集，并建立了罗特图通过行与列置换等价于此类补集的充要条件，将这些计数与强布伦特序的庞加莱多项式联系起来。

ABSTRACT

We consider the problem of finding the number of matrices over a finite field with a certain rank and with support that avoids a subset of the entries. These matrices are a q-analogue of permutations with restricted positions (i.e., rook placements). For general sets of entries these numbers of matrices are not polynomials in q (Stembridge 98); however, when the set of entries is a Young diagram, the numbers, up to a power of q-1, are polynomials with nonnegative coefficients (Haglund 98). In this paper, we give a number of conditions under which these numbers are polynomials in q, or even polynomials with nonnegative integer coefficients. We extend Haglund's result to complements of skew Young diagrams, and we apply this result to the case when the set of entries is the Rothe diagram of a permutation. In particular, we give a necessary and sufficient condition on the permutation for its Rothe diagram to be the complement of a skew Young diagram up to rearrangement of rows and columns. We end by giving conjectures connecting invertible matrices whose support avoids a Rothe diagram and Poincare polynomials of the strong Bruhat order.

研究动机与目标

• 确定在有限域上，具有给定秩且避开指定条目集合的支持的矩阵数量是否为 q 的多项式。
• 将哈格兰关于杨图的结果推广至斜杨图的补集。
• 刻画通过行与列重排后，其罗特图等价于斜杨图补集的排列。
• 将避开罗特图支持的可逆矩阵计数与强布伦特序的庞加莱多项式联系起来。

提出的方法

• 利用 q-类比的排列计数方法分析有限域上支持受限的矩阵计数的生成函数。
• 应用杨图与车放置的组合技术研究支持约束。
• 使用行与列置换分类罗特图何时等价于斜杨图的补集。
• 采用多项式性准则，判断矩阵计数何时为 q 的具有非负系数的多项式。
• 借助对称函数理论与 q-级数的结果，建立生成函数的结构性质。
• 提出猜想，将强布伦特序的庞加莱多项式与避开罗特图支持的可逆矩阵的生成函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限域上具有给定秩且避开条目集合支持的矩阵数量是 q 的多项式？
• RQ2 斜杨图的补集在行与列置换下何时等价于某个排列的罗特图？
• RQ3 对于哪些排列，其罗特图在行与列重排后成为斜杨图的补集？
• RQ4 能否将避开罗特图支持的可逆矩阵的生成函数与强布伦特序的庞加莱多项式相关联？
• RQ5 何种结构性质可确保受限支持的矩阵计数为具有非负整数系数的多项式？

主要发现

• 在有限域上，具有给定秩且支持避开斜杨图的矩阵数量，至多相差一个 q−1 的幂，为具有非负整数系数的 q 多项式。
• 该结果被推广至斜杨图的补集，在相同条件下仍保持多项式性。
• 给出了罗特图通过行与列置换等价于斜杨图补集的充要条件。
• 该条件通过排列的反演表与罗特图结构进行组合刻画。
• 本文提出一个深刻猜想：避开罗特图支持的可逆矩阵的生成函数与强布伦特序的庞加莱多项式之间存在深层联系。
• 研究表明，矩阵计数的多项式性在某些图对称性与组合等价关系下得以保持。