[论文解读] Counting, Mixing and Equidistribution of horospheres in geometrically finite rank one locally symmetric manifolds

Инканг Ким|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用 24

一句话总结

本文建立了无限体积、几何有限的秩一局部对称流形中扩张广义球面的等分布性，并将其应用于推导离散群 $\Gamma\subset O_{\mathbb{F}}(n,1)$ 在 $\mathbb{F}^{n+1}$ 上作用的轨道计数的精确渐近公式，包含显式误差项。关键结果为轨道点数量的 $T^\delta$ 增长率，其误差项具有幂次节省性质，且依赖于谱间隙，从而可应用于阿波罗尼奥斯球堆积中素曲率球面的计数。

ABSTRACT

In this paper we study the equidistribution of expanding horospheres in infinite volume geometrically finite rank one locally symmetric manifolds and apply it to the orbital counting problem in apollonian sphere packing.

研究动机与目标

• 建立几何有限、无限体积的秩一局部对称流形中扩张广义球面相对于 Burger-Roblin 测度的等分布性。
• 为作用在 $\mathbb{F}^{n+1}$ 上的离散群 $\Gamma \subset SO(n,1), SU(n,1), Sp(n,1)$ 推导定量轨道计数公式，且对误差项进行控制。
• 将等分布结果应用于阿波罗尼奥斯球堆积中素曲率球面的计数问题。
• 通过引入谱间隙估计和 $L^2$-矩阵系数技术，将先前在秩一情形下的结果推广。

提出的方法

• 在秩一对称空间中使用广义球面坐标来参数化广义球面，并将计数函数表示为在 $N$ 和 $A$ 上的积分。
• 应用单位表示理论与 $L^2(\Gamma\backslash G)^K$ 上的谱理论，将函数分解为最低特征值的特征函数 $\phi_0$ 与正交补空间。
• 通过谱间隙估计矩阵系数，从而对广义球面平均实现渐近控制：$\int \psi(n_x a_y) dn \sim y^{D-\delta}$。
• 构造光滑截断函数 $\phi_\epsilon$ 并在 $\Gamma\backslash G$ 上取平均，以定义测试函数 $\Phi_\epsilon$，从而可使用 $L^2$-范数估计。
• 应用 Langlands 分解并关于 $M$ 取平均，将问题约化为 $\Gamma\backslash G/M$ 上的 $L^2$-范数，其中广义球面平均受到控制。
• 应用大筛法与 $r$-几乎素数的筛法，推导出曲率中 $k$ 个为 $r$-几乎素数的轨道数量的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几何有限、无限体积的秩一局部对称流形中，扩张广义球面如何实现等分布？
• RQ2 在几何有限离散群 $\Gamma$ 作用下，轨道点数量 $\{v \in v_0\Gamma : ||v|| < T\}$ 的精确渐近增长率为多少？
• RQ3 能否通过谱间隙与 $L^2$-矩阵系数估计，对轨道计数函数的误差项进行定量控制？
• RQ4 广义球面的等分布性在多大程度上可应用于数论问题，如阿波罗尼奥斯球堆积中素曲率球面的计数？
• RQ5 在阿波罗尼奥斯堆积中，五个相互相切的球面的曲率均为 $r$-几乎素数的五元组数量的下界是多少？

主要发现

• 轨道计数函数满足 $\#\{v \in v_0\Gamma : ||v|| < T\} \sim c_{\phi_0} \delta^{-1} T^\delta \int_K ||v_0(g_0^{-1}kg_0)||^{-\delta} dk$，其中显式依赖于 $K$-不变范数。
• 对于 $K$-不变范数，计数函数为 $c_{\phi_0} \delta^{-1} ||v_0||^{-\delta} T^\delta (1 + O(T^{-\delta'}))$，其中 $\delta'$ 依赖于谱间隙。
• 通过 $L^2$-矩阵系数衰减建立广义球面的等分布性：对 $\psi \in L^2_c(\Gamma\backslash G)^K$，有 $\int \psi(n_x a_y) dn \sim y^{D-\delta}$，其中 $D$ 为边界在 Hausdorff 维数。
• 曲率中 $k$ 个为 $r$-几乎素数的五元组数量的下界满足 $\pi_k^{\mathcal{P}}(T)^r \gg \frac{T^{\delta_\Gamma}}{\log^k T}$，其中 $r$ 依赖于谱间隙。
• 该结果将 [23] 的工作推广至一般秩一情形，包括实、复与四元数双曲空间。
• 在阿波罗尼奥斯球堆积中的应用，使计数函数的误差项具有幂次节省性质，从而可使用筛法计数 $r$-几乎素数曲率。