[论文解读] Counting non-isomorphic maximal independent sets of the n-cycle graph

Raymond Bisdorff, Jean‐Luc Marichal|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过二面体群 $D_{2n}$ 在最大独立集（MISs）集合上的作用，提供了计算 $C_n$ 环图中非同构且无标签的最大独立集的确切组合公式。推导出涉及佩兰数列和巴多万数列的闭式表达式，表明非同构 MISs 的数量由 $\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$ 给出，其中 $p(n)$ 为佩兰数列，$r(n)$ 计数关于反射对称的 MISs。

ABSTRACT

The number of maximal independent sets of the n-cycle graph C_n is known to be the nth term of the Perrin sequence. The action of the automorphism group of C_n on the family of these maximal independent sets partitions this family into disjoint orbits, which represent the non-isomorphic (i.e., defined up to a rotation and a reflection) maximal independent sets. We provide exact formulas for the total number of orbits and the number of orbits having a given number of isomorphic representatives. We also provide exact formulas for the total number of unlabeled (i.e., defined up to a rotation) maximal independent sets and the number of unlabeled maximal independent sets having a given number of isomorphic representatives. It turns out that these formulas involve both Perrin and Padovan sequences.

研究动机与目标

• 在二面体对称性（旋转与反射）下，枚举 $C_n$ 环图中的非同构最大独立集（MISs）。
• 推导非同构 MISs 的轨道数以及具有给定同构代表数的轨道数的精确公式。
• 将分析扩展至仅考虑旋转对称的无标签 MISs，并提供相应的精确公式。
• 建立 MISs 组合计数与著名整数数列（特别是佩兰数列和巴多万数列）之间的联系。

提出的方法

• 在 $C_n$ 的 MISs 家族上应用二面体群 $D_{2n}$ 的作用，通过旋转与反射将它们划分为轨道。
• 利用轨道-稳定子定理建立轨道大小与稳定子大小的关系，满足 $|\mathrm{Orb}(X)| \times |\mathrm{Stab}(X)| = 2n$。
• 定义 $\mathrm{orb}(n)$ 为非同构 MISs 的总数（即轨道数），$\mathrm{orb}_d(n)$ 为稳定子大小为 $d$ 的轨道数，使用乘法数论函数。
• 通过佩兰数列 $p(n)$ 与欧拉函数 $\phi(n)$ 的组合，表达 $\mathrm{orb}(n)$：$\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$。
• 引入仅考虑旋转对称的无标签 MISs 概念，并定义 $\mathrm{orb}^\sigma(n)$，证明其等于 $2\mathrm{orb}(n) - r(n)$。
• 使用狄利克雷卷积与莫比乌斯反演，推导 $\mathrm{orb}_1^\sigma(n)$，即无旋转对称性的无标签 MISs 的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二面体对称性下，$n$-环图 $C_n$ 中存在多少个非同构的最大独立集？
• RQ2 在 $D_{2n}$ 作用下，具有恰好 $k$ 个同构代表的轨道（即非同构 MISs）数量是多少？
• RQ3 在仅考虑旋转对称下，$C_n$ 中存在多少个无标签的最大独立集？其中有多少个具有 $k$ 个同构代表？
• RQ4 MISs 的计数与佩兰数列和巴多万数列之间存在何种关系？

主要发现

• 在 $C_n$ 中，非同构 MISs 的总数 $\mathrm{orb}(n)$ 由 $\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$ 给出，其中 $p(n)$ 为佩兰数列，$r(n)$ 计数关于反射对称的 MISs。
• 无对称轴（即稳定子大小为 1）的非同构 MISs 的数量为 $\mathrm{orb}_1(n) = \mathrm{orb}(n) - r(n)$，其等于部分为 2 和 3 的 $n$ 的非回文循环组合数。
• 仅考虑旋转对称的无标签 MISs 的数量为 $\mathrm{orb}^\sigma(n) = 2\mathrm{orb}(n) - r(n)$，该序列与 OEIS 序列 A127687 一致。
• 具有恰好 $n/d$ 个同构代表的无标签 MISs 的数量由 $\mathrm{orb}_d^\sigma(n)$ 给出，可通过 $\mathrm{orb}_1^\sigma(n)$ 经狄利克雷卷积计算得出。
• 当 $n$ 为素数时，$\mathrm{orb}(n) = \mathrm{orb}_1(n) + \mathrm{orb}_2(n)$，其中 $\mathrm{orb}_2(n) = r(n)$，且 $\mathrm{orb}^\sigma(n) = \frac{1}{n}p(n)$，反映出高度对称性与均匀的轨道结构。
• 列出了 $\mathrm{orb}(n)$ 和 $\mathrm{orb}^\sigma(n)$ 的前 40 个值，表明 $\mathrm{orb}(n)$ 和 $\mathrm{orb}^\sigma(n)$ 分别与佩兰数列和巴多万数列的增长趋势一致。