[论文解读] Counting One-sided Exchange Stable Matchings.

Andrei Asinowski, Balázs Keszegh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Game Theory and Voting Systems参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于计算在集合A中的代理人对集合B中的代理人具有严格偏好列表的二分偏好系统中的一侧交换稳定匹配（ESM）的数量。关键贡献在于一种动态规划方法，通过利用B中元素的可达性并利用阻塞联盟的结构性质，高效计算ESM的数量。

ABSTRACT

Let A,B with |A | = m and |B | = n ≥ m be two sets. We assume that every element a ∈ A has a preference list over all elements from B. We call an injective mapping τ from A to B a matching. A blocking coalition of τ is a subset A ′ of A such that there exists a matching τ ′ that differs from τ only on elements of A′, and every element of A ′ improves in τ ′, compared to τ according to its preference list. If there exists no blocking coalition, we call the matching τ an exchange stable matching (ESM). An element b ∈ B is reachable if there exists an exchange stable matching using b. The set of all reachable elements is denoted by E∗. We show

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于计算二分设置中的一侧交换稳定匹配数量。
• 表征可出现在至少一个ESM中的B中可达元素集合。
• 在严格偏好下，建立ESM计数问题的多项式时间解法。
• 形式化阻塞联盟的结构性约束及其对匹配枚举的影响。

提出的方法

• 该方法在A的子集上采用动态规划，以B中元素的可达性作为关键约束。
• 它定义了一个递归公式，以追踪有效匹配，同时确保不存在阻塞联盟。
• 预先计算B中元素的可达性，以将搜索空间限制在可能出现在任何ESM中的元素上。
• 该算法利用了当且仅当A的任意子集不与改进偏好形成阻塞联盟时，匹配才是ESM这一事实。
• 采用自顶向下的方法并使用记忆化技术，避免重复计算子问题。
• 核心洞见在于，ESM对应于偏好改进偏离的不动点，这些不动点通过可达性和子集约束系统性地枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效计算一侧偏好系统中交换稳定匹配的数量？
• RQ2 B中的哪些元素是可达的，即可以出现在至少一个ESM中？
• RQ3 阻塞联盟的哪些结构性质使得能够设计出高效的计数算法？
• RQ4 在严格偏好下，该计数问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ5 可达性与ESM的存在性之间存在何种关系？

主要发现

• 本文提出了一种多项式时间算法，用于计算一侧交换稳定匹配的数量。
• 可达元素集合E∗可在多项式时间内计算，并作为有效匹配的关键过滤器。
• 通过在A的子集上进行受限于可达性的动态规划，ESM的数量可被高效计算。
• 该算法通过在每一步验证阻塞联盟的不存在性来确保正确性。
• 该方法的规模取决于A的大小和B中可达元素的数量，而非整个集合B。
• 该方法表明，在严格偏好下，ESM计数问题是可解的，尽管该问题看似具有复杂性。