[论文解读] Counting permutations with no long monotone subsequence via generating trees

Mireille Bousquet‐Mélou|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 1

一句话总结

本文通过一种递归插入方法，追踪 m−1 个辅助参数，对 Gessel 关于不含长度为 m+1 的递增子序列的排列的生成函数的行列式公式给出了新的推导。该方法进一步推广至不含长度为 m+1 的递减子序列的对合排列，通过计数不动点进行细化，并证明这些生成函数是有理函数系列的常数项。

ABSTRACT

We recover Gessel's determinantal formula for the generating function of permutations with no ascending subsequence of length m+1. The starting point of our proof is the recursive construction of these permutations by insertion of the largest entry. This construction is of course extremely simple. The cost of this simplicity is that we need to take into account in the enumeration m-1 additional parameters --- namely, the positions of the leftmost increasing subsequences of length i, for i=2,...,m. This yields for the generating function a functional equation with m-1 catalytic variables, and the heart of the paper is the solution of this equation. We perform a similar task for involutions with no descending subsequence of length m+1, constructed recursively by adding a cycle containing the largest entry. We refine this result by keeping track of the number of fixed points. In passing, we prove that the ordinary generating functions of these families of permutations can be expressed as constant terms of rational series.

研究动机与目标

• 通过递归插入构造方法，恢复 Gessel 关于不含长度为 m+1 的递增子序列的排列的生成函数的行列式公式。
• 通过递归添加包含最大元素的循环，将该方法扩展至对合排列，同时追踪子序列避免性质与不动点。
• 证明这些排列族的普通生成函数可表示为有理函数系列的常数项。
• 求解由递归插入过程产生的含 m−1 个催化变量的函数方程。

提出的方法

• 通过递归插入最大元素构造排列，将 i=2,…,m 的每个长度为 i 的最左递增子序列的位置作为辅助参数进行追踪。
• 建立一个含 m−1 个催化变量的函数方程，以编码递归插入过程与子序列约束。
• 使用代数技巧求解所得函数方程，以提取生成函数。
• 对对合排列应用类似的递归循环插入方法，通过计数不动点实现枚举的细化。
• 利用常数项提取技术，将普通生成函数表示为有理函数系列。
• 利用生成树的结构，建模在单调子序列限制下排列与对合的递归增长过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过递归插入与辅助参数推导出避免长度为 m+1 的递增子序列的排列的生成函数？
• RQ2 m−1 个催化变量在递归构造过程中对这类排列结构的编码中起什么作用？
• RQ3 相同的递归框架能否被调整以计数避免长度为 m+1 的递减子序列的对合排列？
• RQ4 追踪不动点如何细化此类对合排列的枚举？
• RQ5 这些排列族的普通生成函数能否表示为有理函数系列的常数项？

主要发现

• 本文成功通过递归插入方法恢复了 Gessel 关于不含长度为 m+1 的递增子序列的排列的生成函数的行列式公式。
• 对含 m−1 个催化变量的函数方程的求解，得到了生成函数的闭式表达。
• 发展了针对不含长度为 m+1 的递减子序列的对合排列的类似递归构造方法，并通过不动点计数实现细化。
• 证明了这两类排列族的普通生成函数均为有理函数系列的常数项。
• 该方法表明，通过引入辅助参数的递归树状构造，可解决具有单调子序列限制的复杂计数问题。
• 该框架揭示了排列计数、催化变量与通过常数项表示的有理函数系列之间深刻的联系。