[论文解读] Counting planar maps, coloured or uncoloured

Mireille Bousquet‐Mélou|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 105被引用 4

一句话总结

本文提出了一类q-彩色平面图的微分代数解法，其中每条单色边携带权重ν，推广了1971年图灵的函数方程。生成函数被证明是微分代数的——满足一组非线性微分方程——扩展了先前关于恰当q-彩色三角剖分的结果，并揭示了在特殊q值（如q=2,3，以及q=2+2cos(jπ/m)）下其代数性。

ABSTRACT

We present recent results on the enumeration of $q$-coloured planar maps, where each monochromatic edge carries a weight $ u$. This is equivalent to weighting each map by its Tutte polynomial, or to solving the $q$-state Potts model on random planar maps. The associated generating function, obtained by Olivier Bernardi and the author, is differentially algebraic. That is, it satisfies a (non-linear) differential equation. The starting point of this result is a functional equation written by Tutte in 1971, which translates into enumerative terms a simple recursive description of planar maps. The proof follows and adapts Tutte's solution of properly $q$-coloured triangulations (1973-1984). We put this work in perspective with the much better understood enumeration of families of uncoloured planar maps, for which the recursive approach almost systematically yields algebraic generating functions. In the past 15 years, these algebraicity properties have been explained combinatorially by illuminating bijections between maps and families of plane trees. We survey both approaches, recursive and bijective. Comparing the coloured and uncoloured results raises the question of designing bijections for coloured maps. No complete bijective solution exists at the moment, but we present bijections for certain specialisations of the general problem. We also show that for these specialisations, Tutte's functional equation is much easier to solve that in the general case. We conclude with some open questions.

研究动机与目标

• 将图灵1971年关于q-彩色平面图的函数方程扩展至使用微分代数方法的完整解法。
• 将无色地图计数的代数结构（通过与树的双射）与彩色情形下更复杂的微分代数结构进行比较。
• 识别出在何种q与ν值下，生成函数变为代数形式，尽管一般情形下仅为微分代数形式。
• 启动对彩色地图计数的双射解释的探索，特别是针对如生成树与双极定向等特例。
• 提出关于彩色随机地图的渐近计数与标度极限的开放问题，包括与布朗运动地图的联系。

提出的方法

• 将20世纪70年代图灵的递归方法适配至q-彩色地图，使用含两个催化变量的函数方程。
• 通过一组非线性微分方程求解函数方程，确立生成函数为微分代数形式。
• 对微分系统应用奇点分析，推导渐近计数结果，尤其针对q=2,3且ν≠0的情形。
• 通过一般模型的特例化（如生成树、双极定向）简化函数方程，并恢复代数生成函数。
• 借助无色地图与平面树之间已知的双射，指导在彩色情形下寻找类似双射的探索。
• 通过将权重ν解释为耦合常数，建立与统计物理模型（如Potts模型、伊辛模型）的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些q与ν值下，q-彩色平面图的生成函数是代数的，而非仅微分代数的？
• RQ2 能否在彩色地图族与树状结构之间构造双射对应，特别是针对q=2,3或如生成树等特例？
• RQ3 具有n条边的恰当q-彩色平面图的渐近增长速率是多少？其如何依赖于q与ν？
• RQ4 随机q-彩色平面图是否具有类似于布朗运动地图的标度极限？附加结构（如生成树）如何影响其几何形态？
• RQ5 能否将奇点分析推广至含催化变量的微分方程，从而直接从微分系统提取渐近结果？

主要发现

• q-彩色平面图的生成函数是微分代数的，满足由图灵1971年函数方程导出的一组非线性微分方程。
• 当q=2与q=3时，生成函数为代数形式，其显式公式通过一般模型的特例化推导得出。
• 当q=2+2cos(jπ/m)（j, m为整数）时，生成函数仍保持代数性，推广了已知的q=2,3情形结果。
• 对于q=2,3且ν≠0，n条边的q-彩色平面图的渐近数量为κμⁿn⁻⁵ᐟ²，当ν=(3+√5)/2时出现相变，指数由−5/2跃迁至−7/3。
• 对于恰当q-彩色三角剖分，渐近增长形式为κμⁿn⁻⁵ᐟ²，当q∈[15/11,4]∪[5,∞)时成立，与无色地图渐近行为一致。
• 随机平面图上的Potts模型由同一生成函数捕捉，其中ν为边权重，统一了计数与统计力学。