[论文解读] Counting points on $ ext{Hilb}^m\mathbb{P}^2$ over function fields

Adelina Mânzăţeanu|arXiv (Cornell University)|May 12, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文为正特征全球函数域 $K$ 上的 Hilbert 栈 $\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 的有界高度 $K$-有理点数量建立了渐近公式，表明在去除一个稀疏集后，主常数与 Peyre 的猜想预测一致。该研究扩展了有限域与数域上 $0$-循环之间的类比，证明了 $\mathbb{P}^2$ 的函数域版本的素数定理。该结果支持了正特征情形下的精化版 Manin 猜想。

ABSTRACT

Let $K$ be a global field of positive characteristic. We give an asymptotic formula for the number of $K$-points of bounded height on the Hilbert scheme $ ext{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ and show that by eliminating an exceptional thin set, the constant in front of the main term agrees with the prediction of Peyre in the function field setting. Moreover, we extend the analogy between the integers and $0$-cycles on a variety $V$ over a finite field to $0$-cycles on a variety $V$ over $K$ and establish a version of the prime number theorem in the case when $V = \mathbb{P}^2$.

研究动机与目标

• 通过为有界高度的 $K$-有理点建立渐近公式，验证 $\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 在正特征全球域上的精化版 Manin 猜想。
• 证明渐近公式中的主常数在去除稀疏例外点集后，与函数域设定下 Peyre 的猜想预测一致。
• 扩展有限域与数域上代数簇 $0$-循环之间的类比，证明 $\mathbb{P}^2$ 的函数域版本的素数定理。
• 将数域上的计数技术推广至函数域，利用高度 zeta 函数和 Hilbert 栈的几何分解。

提出的方法

• 该方法首先根据 $0$-循环的结构，将 $\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2(K)$ 分解为基于几何构型的分量，区分不可约与可约构型。
• 利用与反canonical 线丛相关的高度函数 $H_{\omega^{-1}}$ 来计数有界高度 $q^M$ 的点，将问题转化为在 $K$ 上对 $\mathbb{P}^2$ 及其对称幂的点进行计数。
• 证明依赖于函数域版本的 Schmidt 与 Schanuel 的有界次数点计数结果，其中高度通过 $K$ 的所有位置上的阿代尔积公式定义。
• 利用 zeta 函数和函数域的类数，对 $N_K(n+1,d,M)$（即 $K$ 上度为 $d$ 且高度为 $q^{M/ed}$ 的点的数量）应用渐近估计。
• 主要贡献来自可约构型的分析：$m-2k$ 个 $\mathbb{P}^2$ 上的点与 $k$ 个 $\operatorname{Sym}^2\mathbb{P}^2$ 的副本，其中主导项出现在 $k=1$ 时。
• 一个关键技术步骤是证明高阶项（如 $k>1$）的贡献仅为 $O(M^{m-4})$，而 $k=1$ 情况下贡献为 $\sim c q^M M$，其中常数 $c$ 与 Peyre 的常数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数域设定下，$\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 上 $K$-有理点的渐近计数的主常数是否与 Peyre 的猜想预测一致？
• RQ2 有限域与数域上 $0$-循环之间的类比能否推广至全球函数域，特别是在高度 zeta 函数的背景下？
• RQ3 在正特征函数域 $K$ 上，$\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 上有界高度 $K$-点的精确渐近行为是什么？
• RQ4 可约构型如何贡献于点计数？能否证明高阶可约项相对于主项为低阶？

主要发现

• 在去除稀疏集 $Z_0$ 后，$\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 上高度为 $q^M$ 的 $K$-有理点数量，当 $M \to \infty$ 时渐近为 $c q^M M + O(\sqrt{M} q^M)$。
• 渐近公式中的主常数 $c$ 与函数域设定下 Peyre 的猜想常数一致，证实了该情形下精化版 Manin 猜想。
• 点计数的主要贡献来自由 $k=1$ 对应的可约 $0$-循环：即一个 $K$-共轭点对与 $m-2$ 个有理点的组合。
• 来自 $k>1$ 个不可约分量的构型的贡献被限制为 $O(M^{m-4})$，低于 $M$-线性项，确认了 $k=1$ 情况的主导性。
• 该论文建立了 $\mathbb{P}^2$ 的函数域版本的素数定理，其中高度有界的 $K$-有理点数量按 $q^M M$ 增长，常数与 zeta 函数和类数相关。
• 分析确认了渐近展开中 $M^{m-2}$ 项相互抵消，导致主项为 $M^{m-3}$ 阶，与精化版 Manin 猜想的预期增长一致。