[论文解读] Counting quadrant walks via Tutte's invariant method (extended abstract)

Olivier Bernardi, Mireille Bousquet‐Mélou+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文将Tutte的不变量方法应用于象限随机游走的计数，为所有已知的代数模型（包括Gessel模型）提供了统一且简短的代数性证明，并引入一种弱化不变量概念，以推导无积分表达式，证明具有无限群的9个非D-有限模型的生成函数为微分代数函数。关键贡献在于建立了一个系统性框架，将可分函数与不变量联系到生成函数的代数性或微分代数性。

ABSTRACT

In the 1970s, Tutte developed a clever algebraic approach, based on certain "invariants" , to solve a functional equation that arises in the enumeration of properly colored triangulations. The enumeration of plane lattice walks confined to the first quadrant is governed by similar equations, and has led in the past decade to a rich collection of attractive results dealing with the nature (algebraic, D-finite or not) of the associated generating function, depending on the set of allowed steps. We first adapt Tutte's approach to prove (or reprove) the algebraicity of all quadrant models known or conjectured to be algebraic (with one small exception). This includes Gessel's famous model, and the first proof ever found for one model with weighted steps. To be applicable, the method requires the existence of two rational functions called invariant and decoupling function respectively. When they exist, algebraicity comes out (almost) automatically. Then, we move to an analytic viewpoint which has already proved very powerful, leading in particular to integral expressions of the generating function in the non-D-finite cases, as well as to proofs of non-D-finiteness. We develop in this context a weaker notion of invariant. Now all quadrant models have invariants, and for those that have in addition a decoupling function, we obtain integral-free expressions of the generating function, and a proof that this series is differentially algebraic (that is, satisfies a non-linear differential equation).

研究动机与目标

• 将Tutte的不变量方法从三角剖分计数推广至小步象限随机游走的计数。
• 为所有已知或猜想为代数性的象限随机游走模型（包括Gessel模型）提供统一的代数性证明。
• 引入一种更弱的不变量概念，使其适用于所有模型，从而在非D-有限情形下实现无积分表达式与微分代数结果。
• 阐明可分函数的存在性与生成函数性质（代数性、D-有限性或微分代数性）之间的联系。

提出的方法

• 将Tutte原始不变量方法适配至控制象限随机游走生成函数的函数方程，利用有理不变量在存在时证明代数性。
• 引入一种广义的、更弱的不变量概念，适用于全部79个小型步长象限模型，即使在群无限的情形下亦适用。
• 结合可分函数的存在性与弱不变量，推导出生成函数的无积分表达式。
• 运用共形映射技术与Weierstrass椭圆函数的性质，证明粘合函数 $ w(y;t) $ 为微分代数函数。
• 利用微分代数函数的闭包性质，证明当弱不变量与可分函数同时存在时，完整生成函数 $ Q(x,y;t) $ 为微分代数函数。
• 利用模形式及不变量 $ g_2 $ 与 $ g_3 $ 满足的微分方程，确立粘合函数的微分代数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tutte的不变量方法能否被适配，以统一且系统地证明象限随机游走生成函数的代数性？
• RQ2 可分函数在决定生成函数为代数性或微分代数性时，其精确作用是什么？
• RQ3 能否定义一种更弱的不变量概念，使得所有象限随机游走模型均适用，从而实现对有限群情形之外的解析处理？
• RQ4 对于具有无限群且无可分函数的模型，其生成函数是否仍为微分代数函数，或已超出该类？
• RQ5 能否为微分代数情形下的生成函数显式导出非线性微分方程，类似于Tutte对三角剖分方程的解法？

主要发现

• 所有23个具有有限群的象限随机游走模型当且仅当其存在可分函数时为代数性，且该条件通过不变量方法得到统一验证。
• 该方法为Gessel模型的代数性提供了目前已知最简短的证明，此前该结果需依赖复杂的代数运算。
• 对于9个具有无限群的模型，弱不变量与可分函数的同时存在，导出了生成函数的无积分表达式。
• 证明了这些9个模型的生成函数 $ Q(x,y;t) $ 在 $ x $、$ y $ 与 $ t $ 上为微分代数函数，满足具有有理系数的非线性微分方程。
• 作为解析方法核心的粘合函数 $ w(y;t) $，通过Weierstrass椭圆函数与模形式的性质被证明为微分代数函数。
• 该框架解释了D-有限与非D-有限模型之间的二分性：有限群意味着D-有限（若存在可分函数则为代数性），而无限群模型若存在可分函数，则可能为微分代数函数。