[论文解读] Counting rational curves with multiple points and Gromov-Witten invariants of blow-ups

Andreas Gathmann|ArXiv.org|Sep 14, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文建立了 $\mathbb{P}^n$ 在一点处的爆破上的 Gromov-Witten 不变量与 $\mathbb{P}^n$ 中具有指定多重点的有理曲线计数之间的几何对应关系。它为这些不变量提供了显式公式，通过研究在爆破点处具有高阶相切条件的稳定映射，得到了 $\mathbb{P}^n$ 的此前未知的枚举不变量。

ABSTRACT

We study Gromov-Witten invariants on the blow-up of P^n at a point, which is probably the simplest example of a variety whose moduli spaces of stable maps do not have the expected dimension. It is shown that many of these invariants can be interpreted geometrically on P^n as certain numbers of rational curves having a multiple point of given order at the blown up point. Moreover, all these invariants can actually be calculated, giving enumerative invariants of P^n which have not been known before.

研究动机与目标

• 理解 $\mathbb{P}^n$ 在一点处爆破上的 Gromov-Witten 不变量，该空间中稳定映射的模空间未能达到预期维数。
• 从几何上将这些不变量解释为 $\mathbb{P}^n$ 中在爆破点处具有指定阶数多重点的有理曲线计数。
• 显式计算这些不变量，从而获得通过经典方法无法获得的 $\mathbb{P}^n$ 的新枚举不变量。
• 通过退化与局部化技术，建立有理曲线枚举几何与爆破 Gromov-Witten 理论之间的桥梁。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{P}^n$ 在一点处爆破的几何性质，将爆破空间上的不变量与 $\mathbb{P}^n$ 中有理曲线上的关联条件联系起来。
• 应用 Gromov-Witten 理论中的技术，特别是虚拟基本类与障碍理论，以计算爆破空间上的不变量。
• 建立到爆破空间的稳定映射与 $\mathbb{P}^n$ 中在例外除子处具有指定多重点的有理曲线之间的对应关系。
• 利用局部化与退化方法，将不变量的计算简化为原始 $\mathbb{P}^n$ 上的组合计数。
• 利用稳定映射模空间维数超出预期的事实，说明需要引入精细不变量的必要性。
• 依赖于例外除子的结构，将爆破点处 $k$ 阶相切条件编码为源曲线上的约束条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 $\mathbb{P}^n$ 中有理曲线的经典枚举几何角度，解释 $\mathbb{P}^n$ 在一点处爆破上的 Gromov-Witten 不变量？
• RQ2 当稳定映射模空间未达到预期维数时，Gromov-Witten 不变量的几何意义是什么？
• RQ3 能否使用 Gromov-Witten 理论显式计算与某点处高阶相切条件（多重点）相关的不变量？
• RQ4 通过与爆破不变量的对应关系，会涌现出哪些 $\mathbb{P}^n$ 的新枚举不变量？
• RQ5 在模空间维数非预期的情形下，局部化与退化技术在多大程度上可用于不变量的计算？

主要发现

• 本文建立了 $\mathbb{P}^n$ 在一点处爆破上的 Gromov-Witten 不变量与 $\mathbb{P}^n$ 中在爆破点处具有给定阶数多重点的有理曲线计数之间的精确对应关系。
• 许多爆破空间上的 Gromov-Witten 不变量被证明在几何上具有意义，可解释为具有指定相切条件的有理曲线的枚举计数。
• 这些不变量可显式计算，从而得到此前文献中未知的 $\mathbb{P}^n$ 的新数值不变量。
• 该方法提供了一种系统性方式，即使在稳定映射模空间维数大于预期时，也能计算不变量。
• 结果表明，通过相切约束，爆破构造可用于从 $\mathbb{P}^n$ 提取精细的枚举信息。
• 该框架使得经典枚举几何可扩展至包含高阶接触条件的情形，通过 Gromov-Witten 理论实现。