[论文解读] Counting Subgraphs in Degenerate Graphs

Lior Gishboliner, Yevgeny Levanzov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文全面刻画了在退化图中可在线性时间内计数的图 H，证明了近期提出的一个可 tractability 的充分条件也是必要条件。该研究利用新颖的难解性技术，解决了退化图中诱导子图计数与同态计数的开放问题。

ABSTRACT

We consider the problem of counting the number of copies of a fixed graph $H$ within an input graph $G$. This is one of the most well-studied algorithmic graph problems, with many theoretical and practical applications. We focus on solving this problem when the input $G$ has bounded degeneracy. This is a rich family of graphs, containing all graphs without a fixed minor (e.g. planar graphs), as well as graphs generated by various random processes (e.g. preferential attachment graphs). We say that $H$ is easy if there is a linear-time algorithm for counting the number of copies of $H$ in an input $G$ of bounded degeneracy. A seminal result of Chiba and Nishizeki from '85 states that every $H$ on at most 4 vertices is easy. Bera, Pashanasangi, and Seshadhri recently extended this to all $H$ on 5 vertices, and further proved that for every $k > 5$ there is a $k$-vertex $H$ which is not easy. They left open the natural problem of characterizing all easy graphs $H$. Bressan has recently introduced a framework for counting subgraphs in degenerate graphs, from which one can extract a sufficient condition for a graph $H$ to be easy. Here we show that this sufficient condition is also necessary, thus fully answering the Bera--Pashanasangi--Seshadhri problem. We further resolve two closely related problems; namely characterizing the graphs that are easy with respect to counting induced copies, and with respect to counting homomorphisms. Our proofs rely on several novel approaches for proving hardness results in the context of subgraph-counting.

研究动机与目标

• 全面刻画所有满足在退化图中可在线性时间内计数其副本的图 H。
• 解决 Bera、Pashanasangi 和 Seshadhri 提出的关于刻画 '容易' 图 H 的开放问题。
• 将该刻画扩展至退化图中的诱导子图计数与同态计数。
• 建立近期提出的子图计数可 tractability 框架的充分性与必要性。

提出的方法

• 利用 Bressan 在退化图中子图计数的框架，推导出线性时间可 tractability 的充分条件。
• 证明 Bressan 框架中的充分条件也是必要条件，从而完全刻画了 '容易' 图 H。
• 开发针对退化性设定下子图计数问题的新型难解性技术。
• 分析决定图 H 在有界退化图中可 tractability 的结构性质。
• 使用组合与图论论证，建立计数子图复杂度的紧致界。
• 将分析扩展至诱导子图计数与同态计数，证明存在类似的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图 H 允许在有界退化图中存在线性时间算法来计数其副本？
• RQ2 Bressan 提出的可 tractability 充分条件是否对退化图中的线性时间子图计数而言既是必要也是充分的？
• RQ3 能否将 '容易' 图 H 的刻画扩展至退化图中的诱导子图计数？
• RQ4 该框架是否可应用于退化图中的同态计数？
• RQ5 H 的哪些结构性质决定了其在退化图中是否易于计数？

主要发现

• Bressan 提出的用于退化图中线性时间子图计数的充分条件也是必要条件，从而完全刻画了所有 '容易' 图 H。
• 所有顶点数不超过 5 的图 H 在退化图中均可轻松计数，确认并扩展了先前结果。
• 对于每个 k > 5，均存在一个 k 个顶点的图 H，其无法轻松计数，确认了该问题的阈值行为。
• 对 '容易' 图 H 的刻画可扩展至诱导子图计数，提供了完整的分类。
• 该框架同样为退化图中的同态计数提供了完整刻画，具有类似的必要与充分条件。
• 本文建立了新的难解性技术，专门针对退化性设定下的子图计数问题。