[论文解读] Counting sum-free sets in Abelian groups

Noga Alon, József Balogh+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文建立了格林与鲁兹萨关于有限阿贝尔群中和自由集定理的稀疏类比，证明了对于阶可被满足 $ q \equiv 2 \pmod{3} $ 的素数 $ q $ 整除的群，几乎所有大小为 $ m \geq C(q)\sqrt{n\log n} $ 的和自由子集都包含于一个最大大小的和自由子集中。作者利用三 uniform 超图与谱方法发展了一般性框架，从稠密稳定性结果推导稀疏结构结果，从而得到此类集合的精确渐近计数与典型结构。

ABSTRACT

In this paper we study sum-free sets of order $m$ in finite Abelian groups. We prove a general theorem on 3-uniform hypergraphs, which allows us to deduce structural results in the sparse setting from stability results in the dense setting. As a consequence, we determine the typical structure and asymptotic number of sum-free sets of order $m$ in Abelian groups $G$ whose order is divisible by a prime $q$ with $q \equiv 2 \pmod 3$, for every $m \ge C(q) \sqrt{n \log n}$, thus extending and refining a theorem of Green and Ruzsa. In particular, we prove that almost all sum-free subsets of size $m$ are contained in a maximum-size sum-free subset of $G$. We also give a completely self-contained proof of this statement for Abelian groups of even order, which uses spectral methods and a new bound on the number of independent sets of size $m$ in an $(n,d,λ)$-graph.

研究动机与目标

• 建立格林与鲁兹萨关于有限阿贝尔群中和自由集结构结果的稀疏类比。
• 确定在阶可被满足 $ q \equiv 2 \pmod{3} $ 的素数 $ q $ 整除的阿贝尔群 $ G $ 中，大小为 $ m $ 的和自由集的典型结构与渐近数量。
• 发展一种从加法组合学中稠密稳定性结果推导稀疏结构结果的一般方法。
• 证明对于 $ m \geq C(q)\sqrt{n\log n} $，几乎所有大小为 $ m $ 的和自由子集都包含于一个最大大小的和自由子集中。

提出的方法

• 建立关于三 uniform 超图的一般定理，以连接稠密稳定性结果与稀疏结构结果。
• 应用谱方法，以界定 $ (n,d,\lambda) $-图中大小为 $ m $ 的独立集的数量。
• 利用特征理论与特征值界分析与和自由集相关的凯莱图。
• 使用切尔诺夫不等式与并集界控制随机子集上特征值的集中性。
• 利用有限阿贝尔群的特征结构作为凯莱图邻接矩阵的特征向量。
• 结合超图正则性与谱技术，证明稀疏图中大的独立集包含于整个图的大独立集中。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ m $ 较大但亚线性时，有限阿贝尔群中大小为 $ m $ 的和自由子集的典型结构是什么？
• RQ2 在类型 I 的阿贝尔群（即阶有素因子 $ q \equiv 2 \pmod{3} $）中，大小为 $ m $ 的和自由子集有多少个？
• RQ3 在这些群中，几乎所有大小为 $ m $ 的和自由集是否都包含于一个最大大小的和自由子集中？
• RQ4 稠密情形下的稳定性结果能否用于推导和自由集在稀疏情形下的结构结果？

主要发现

• 对于阶 $ n $ 可被满足 $ q \equiv 2 \pmod{3} $ 的素数 $ q $ 整除的阿贝尔群 $ G $，几乎所有大小为 $ m \geq C(q)\sqrt{n\log n} $ 的和自由子集都包含于 $ G $ 的一个最大大小和自由子集中。
• 此类群中大小为 $ m $ 的和自由集的渐近数量为 $ \binom{n/2}{m} $，至多相差一个次指数因子，且主要贡献来自包含于最大大小和自由子集中的集合。
• 建立了一个关于 $ (n,d,\lambda) $-图中大小为 $ m $ 的独立集数量的新谱界，这是证明的核心。
• 本文提供了针对偶数阶群的自包含证明，使用谱方法与新的独立集界。
• 该框架可通过超图与谱技术，将加法组合学中稠密情形的结构稳定性结果转移到稀疏情形。