[论文解读] Counting Temporal Paths

Jessica Enright, Kitty Meeks+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2022

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks被引用 3

一句话总结

本文研究了在动态图中计数时间路径的计算复杂度，其中边仅在特定时间存在。研究证明，计数首要或最快时间路径是 #P-难的，但通过参数化和近似算法识别出可 tractable 的情况，在反馈顶点数或树宽有界的结构约束下提供了精确且高效的解决方案。

ABSTRACT

The betweenness centrality of a vertex v is an important centrality measure that quantifies how many optimal paths between pairs of other vertices visit v. Computing betweenness centrality in a temporal graph, in which the edge set may change over discrete timesteps, requires us to count temporal paths that are optimal with respect to some criterion. For several natural notions of optimality, including foremost or fastest temporal paths, this counting problem reduces to #TEMPORAL PATH, the problem of counting all temporal paths between a fixed pair of vertices; like the problems of counting foremost and fastest temporal paths, #TEMPORAL PATH is #P-hard in general. Motivated by the many applications of this intractable problem, we initiate a systematic study of the parameterised and approximation complexity of #TEMPORAL PATH. We show that the problem presumably does not admit an FPT-algorithm for the feedback vertex number of the static underlying graph, and that it is hard to approximate in general. On the positive side, we prove several exact and approximate FPT-algorithms for special cases.

研究动机与目标

• 分析动态图中计数时间路径的参数化与近似复杂度。
• 确定在结构图参数下，计数首要或最快时间路径是否具有可 tractable 性。
• 为特殊图类中的时间路径计数开发精确与近似算法。
• 建立时间路径计数与时间中心性计算之间的联系。

提出的方法

• 提出 #Temporal Path 作为静态图中路径计数的推广，聚焦于时间标签非递减的非严格时间路径。
• 将计数首要或最快路径的问题归约为 #Temporal Path，通过 Valiant 的框架证明其 #P-难性。
• 应用参数化复杂度技术，分析在反馈顶点数和树宽下的复杂度。
• 为如树宽有界或路径长度有界等特殊情况引入精确与近似 FPT 算法。
• 使用动态规划与树分解设计结构化时间图的高效算法。
• 采用归约与难解性结果，表明除非 FPT = #W[1]，否则不存在针对反馈顶点数的 FPT 算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在底层图的反馈顶点数参数下，计数时间路径是否为固定参数可 tractable？
• RQ2 我们能否为计数首要或最快时间路径设计高效的近似算法？
• RQ3 哪些结构参数使得该计数问题尽管是 #P-难的，仍可 tractable？
• RQ4 计数时间路径的复杂度与时间中心性之间有何关联？
• RQ5 在树宽或路径长度有界的情况下，#Temporal Path 是否存在 FPT 算法？

主要发现

• 计数时间路径是 #P-难的，即使限制在时间标签非递减的路径上。
• 该问题不太可能在底层图的反馈顶点数参数下存在 FPT 算法。
• 当以树宽和路径长度为参数时，#Temporal Path 存在 FPT 算法。
• 在某些结构约束下，可实现有界误差的近似算法。
• 该问题在一般情况下仍难以近似，即使在强限制下也是如此。
• 本研究建立了时间路径计数与时间中心性之间的直接联系，表明后者是 #P-难的。