[论文解读] Counting Tree-Child Networks and Their Subclasses

Cardona, Gabriel, Zhang, Louxin|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Plant and animal studies参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文通过利用有序树与组件图之间的结构关系，为树-子网（TCNs）及其子类（包括有花树和正常网络）提供了显式的计数公式。通过推导出每个杂交节点均有叶后代的TCNs的闭式公式，并提出基于组件分解的递推关系，实现了对最多八个分类单元的TCNs的精确计数。

ABSTRACT

Galled trees are studied as a recombination model in population genetics. This class of phylogenetic networks is generalized into tree-child, galled and reticulation-visible network classes by relaxing a structural condition imposed on galled trees. We count tree-child networks through enumerating their component graphs. Explicit counting formulas are also given for galled trees through their relationship to ordered trees, phylogenetic networks with few reticulations and phylogenetic networks in which the child of each reticulation is a leaf.

研究动机与目标

• 解决TCNs精确计数与枚举的开放问题。
• 通过与有序树的关联，推导出有花树与正常有花树的显式计数公式。
• 通过分析其组件图，开发基于递推关系的TCNs枚举方法。
• 使用所提公式计算最多八个分类单元的TCNs的确切计数。
• 为未来研究提出关于正常网络和具有少量杂交节点的任意系统发育网络的计数开放问题。

提出的方法

• 通过建立有序树与二叉有花树之间的双射关系，推导出新的计数公式。
• 引入树-组件与网络压缩的概念，将TCNs分解为更简单的子网络。
• 基于其组件图的结构，制定TCNs计数的递推关系。
• 使用组件图（如G₃和G₅）通过组合子组件的计数来枚举具有两个杂交节点的TCNs。
• 应用生成函数与组合恒等式（如二项式系数与Catalan型项）推导出闭式表达式。
• 结合先前关于有花网络与TCNs的研究成果，将计数扩展至具有一或两个杂交节点的网络。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为每个杂交节点均有叶后代的树-子网数量推导出闭式公式？
• RQ2 能否基于其组件图分解，建立TCNs计数的递推公式？
• RQ3 八个分类单元的TCNs的确切数量是多少？能否通过结构分解计算得出？
• RQ4 能否为不同网络类别中具有一或两个杂交节点的系统发育网络推导出显式公式？
• RQ5 是否存在简单闭式或递推公式，用于计数具有少量杂交节点的正常网络与任意RPN？

主要发现

• 推导出每个杂交节点均有叶后代的树-子网数量的闭式公式，实现了小规模分类单元的精确枚举。
• 通过与有序树的新型关系，重新推导出有花树的数量，得出新的显式公式。
• 通过将TCNs分解为树-组件并分析组件图，建立了TCNs计数的递推公式。
• 使用所提递推方法计算出八个分类单元的TCNs的确切计数。
• 为不同子类（包括有花树与正常网络）中具有一或两个杂交节点的系统发育网络提供了显式计数公式。
• 本文通过基于组件的分解与递推方法，首次解决了TCNs精确计数的开放问题。