[论文解读] Coupled Multirate Infinitesimal GARK Schemes for Stiff Systems with Multiple Time Scales

Steven Roberts, Arash Sarshar+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 39被引用 19

一句话总结

本文提出用于刚性多时间尺度系统的耦合多速率无穷小GARK（MRI-GARK）格式，通过在各阶段隐式耦合快慢分量以增强稳定性。所提出的步长预测-校正与内部阶段预测-校正MRI-GARK方法在保持四阶精度的同时，相比解耦方案显著提升了稳定性，数值实验验证了其在KPR和逆变器链模型等刚性多尺度问题上的优越效率与精度。

ABSTRACT

Traditional time discretization methods use a single timestep for the entire system of interest and can perform poorly when the dynamics of the system exhibits a wide range of time scales. Multirate infinitesimal step (MIS) methods (Knoth and Wolke, 1998) offer an elegant and flexible approach to efficiently integrate such systems. The slow components are discretized by a Runge-Kutta method, and the fast components are resolved by solving modified fast differential equations. Sandu (2018) developed the Multirate Infinitesimal General-structure Additive Runge-Kutta (MRI-GARK) family of methods that includes traditional MIS schemes as a subset. The MRI-GARK framework allowed the construction of the first fourth order MIS schemes. This framework also enabled the introduction of implicit methods, which are decoupled in the sense that any implicitness lies entirely within the fast or slow integrations. It was shown by Sandu that the stability of decoupled implicit MRI-GARK methods has limitations when both the fast and slow components are stiff and interact strongly. This work extends the MRI-GARK framework by introducing coupled implicit methods to solve stiff multiscale systems. The coupled approach has the potential to considerably improve the overall stability of the scheme, at the price of requiring implicit stage calculations over the entire system. Two coupling strategies are considered. The first computes coupled Runge-Kutta stages before solving a single differential equation to refine the fast solution. The second alternates between computing coupled Runge-Kutta stages and solving fast differential equations. We derive order conditions and perform the stability analysis for both strategies. The new coupled methods offer improved stability compared to the decoupled MRI-GARK schemes. The theoretical properties of the new methods are validated with numerical experiments.

研究动机与目标

• 解决解耦隐式MRI-GARK方法在强快慢相互作用的刚性多尺度系统中稳定性受限的问题。
• 开发新型多速率时间积分框架，通过耦合快慢分量以增强稳定性，同时不牺牲精度阶次。
• 构建适用于时间尺度广泛分离的刚性系统的稳定、高阶（最高至四阶）隐式格式。
• 通过允许任意快子系统求解器并利用无穷小校正的多速率策略，实现高效计算。
• 通过基准刚性问题（如KPR和逆变器链模型）的数值实验验证理论改进效果。

提出的方法

• 引入步长预测-校正MRI-GARK（SPC-MRI-GARK）格式，先在耦合隐式系统中计算所有预测阶段，再对快分量施加无穷小校正。
• 开发内部阶段预测-校正MRI-GARK（IPC-MRI-GARK）格式，对每个慢阶段交替执行耦合预测阶段与无穷小校正阶段。
• 通过插值预测与校正阶段的慢分量趋势，构建修正后的快ODE，确保一致性与稳定性。
• 基于通用结构的加法Runge–Kutta（GARK）框架，推导两类新格式的精度阶条件，扩展了先前的MRI-GARK理论。
• 对两种格式进行稳定性分析，结果表明其稳定性区域大于解耦MRI-GARK方法，尤其在刚性问题中表现更优。
• 使用标准ODE求解器（如ode45）进行快分量积分，慢分量阶段采用基方法（如SDIRK、ESDIRK），部分情况下采用自适应步长控制实现与测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 快慢分量之间的隐式耦合如何相比解耦MRI-GARK方法提升多速率时间积分在刚性多尺度系统中的稳定性？
• RQ2 步长预测-校正与内部阶段预测-校正MRI-GARK格式的精度阶条件与稳定性特性为何？
• RQ3 新耦合MRI-GARK方法在基准刚性问题上的收敛阶与计算效率表现如何？
• RQ4 耦合对高阶方法的稳定性区域与允许时间步长有何影响？
• RQ5 所提格式能否在真实刚性系统（如逆变器链模型）中实现显著速度提升，同时保持高精度？

主要发现

• SPC-MRI-GARK与IPC-MRI-GARK格式的理论精度阶最高可达四阶，其精度阶条件经严格推导并由数值实验验证。
• KPR问题的数值实验表明，所有新格式均按其理论阶收敛，误差减少趋势与精度阶条件预测一致。
• SPC-MRI-GARK格式由于采用全局耦合策略，在刚性问题中表现出比IPC-MRI-GARK格式更大的稳定性区域。
• 在逆变器链问题中，SPC-MRI-GARK格式相比同阶单速率基方法实现了8至60倍的速度提升，展现出显著的计算效率。
• IPC-MRI-GARK格式受慢基方法中非递减节点要求的限制，导致高阶格式稳定性受限，而SPC-MRI-GARK避免了此问题。
• 在快慢分量强耦合并呈刚性时，两种耦合格式在稳定性方面均显著优于解耦MRI-GARK方法。