[论文解读] Couples de Jacobiennes isogenes de courbes hyperelliptiques de genre arbitraire

Jean-François Mestre|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 7

一句话总结

该论文针对任意亏格 $g \geq 2$，构造了一个维度为 $g+1$ 的族，参数化一对双曲曲线 $(C, C')$，其雅可比簇通过 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g$-同源相连。该构造利用对称多项式和有理函数定义的 2-2 对应关系，证明了 $C$ 的雅可比簇是绝对简单的，且该族在模空间中通常是不构同的。

ABSTRACT

For any genus g greater than 1, we construct a family of dimension g+1 of pairs of hyperelliptic curves of genus g whose jacobian are 2^g isogeneous. ----- Pour tout genre g superieur ou egal a 2, nous construisons une famille a g+1 parametres de courbes de genre g telles qu'il existe une 2^g-isogenie entre leurs jacobiennes.

研究动机与目标

• 为解决关于是否存在亏格 $g \geq 2$ 的双曲曲线对，其雅可比簇为 $2^g$-同源的开放问题。
• 在有理函数域上显式构造此类曲线对的代数族。
• 证明对所有 $g \geq 2$，曲线 $C$ 的雅可比簇是绝对简单的。
• 证明该族在双曲曲线模空间中的像具有维度 $g+1$。
• 通过使用对称多项式恒等式和有理变换，将经典 Richelot 对应关系推广至任意亏格。

提出的方法

• 通过不定元 $a_1, \dots, a_g, v$ 定义两条双曲曲线 $C$ 和 $C'$，其中 $C$: $y^2 = (x-v)(vx-1)\prod_{i=1}^g (x^2 - a_i)$，$C'$: $y^2 = (x-v)(vx - (-1)^g)\prod_{i=1}^g (x^2 - b_i)$，其中 $b_i = \frac{a_i v^2 - 1}{a_i - v^2}$。
• 引入对称多项式 $S(x,z) = x^2 z^2 - v^2(x^2 + z^2) + 1$，通过 $S(x,z) = 0$ 和 $yt = M(x,z)(v^2 + 1)(1 - xv - zv + xz)$ 定义 $C \times C'$ 中的对应关系 $\Gamma$。
• 利用模 $S(x,z)$ 的多项式恒等式，证明对应关系 $\Gamma$ 在 $J(C)$ 与 $J(C')$ 之间诱导出一个 $2^g$-同源，其核由次数为零的除子 $[\sqrt{a_i}, 0] - [-\sqrt{a_i}, 0]$ 生成。
• 证明复合映射 $\Gamma' \circ \Gamma$ 在 $\mathrm{Pic}^0(C)$ 上作用为乘以 2，从而确认该同源的次数为 $2^g$。
• 通过证明仅形如 $x \mapsto \pm x, \pm 1/x$ 的射影变换能保持魏尔斯特拉斯点构型，确立族在模空间中的通用维度为 $g+1$。
• 通过归纳法和特殊化（例如当 $g$ 为奇数时令 $a_g = 0$）将构造从偶数亏格推广至奇数亏格。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个 $g \geq 2$，是否存在一个维度为 $g+1$ 的族，参数化雅可比簇为 $2^g$-同源的双曲曲线对？
• RQ2 此类族能否通过使用对称有理函数和多项式恒等式显式构造？
• RQ3 对所有 $g \geq 2$，曲线 $C$ 的雅可比簇是否为绝对简单？
• RQ4 该族在双曲曲线模空间（亏格 $g$）中的像的维度是多少？
• RQ5 能否通过特殊化将构造从偶数亏格推广至奇数亏格？

主要发现

• 对每个 $g \geq 2$，存在一个维度为 $g+1$ 的族，参数化一对双曲曲线 $(C, C')$，其雅可比簇通过 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g$-同源相连。
• 通过弗罗贝尼乌斯迹计算和对 $g$ 的归纳法，证明了对所有 $g \geq 2$，$C$ 的雅可比簇是绝对简单的。
• 该族在双曲曲线模空间（亏格 $g$）中的像具有维度 $g+1$，通过证明仅 $\mathrm{PGL}_2$-变换 $x \mapsto \pm x, \pm 1/x$ 能保持魏尔斯特拉斯点构型而得证。
• 当 $g=2$ 时，该构造恢复了经典的 Richelot 对应关系。
• 当 $g$ 为偶数时，该族产生其雅可比簇在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上具有自同态的曲线，通过构造 $a_{g/2+i} = \frac{a_i v^2 - 1}{a_i - v^2}$ 实现。
• 对应关系 $\Gamma$ 诱导出一个次数为 $2^g$ 的同源，通过证明 $\Gamma' \circ \Gamma$ 在 $\mathrm{Pic}^0(C)$ 上作用为乘以 2 而得以确认。