[论文解读] Coupling a branching process to an infinite dimensional epidemic process

A. D. Barbour|ArXiv.org|Oct 19, 2007

COVID-19 epidemiological studies参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了连续时间马尔可夫性流行病过程（血吸虫病的BK模型）与分支过程之间的耦合，表明在发生 $ M_N = o(N^{2/3}) $ 次感染之前，两者以高概率一致。关键贡献是实现了渐近小的总变差距离的严格路径耦合，将先前仅限于 $ o(N^{1/2}) $ 的结果扩展至更广范围，利用似然比分析和鞅集中不等式控制偏差。

ABSTRACT

Branching process approximation to the initial stages of an epidemic process has been used since the 1950's as a technique for providing stochastic counterparts to deterministic epidemic threshold theorems. One way of describing the approximation is to construct both branching and epidemic processes on the same probability space, in such a way that their paths coincide for as long as possible. In this paper, it is shown, in the context of a Markovian model of parasitic infection, that coincidence can be achieved with asymptotically high probability until o(N^{2/3}) infections have occurred, where N denotes the total number of hosts.

研究动机与目标

• 将流行病过程与分支过程之间的路径耦合范围扩展至先前已知的 $ o(N^{1/2}) $ 阈值之外。
• 在发生 $ M_N = o(N^{2/3}) $ 次感染之前，建立流行病过程与分支过程之间渐近小的总变差距离。
• 为连续时间、无限维流行病模型（如寄生感染的BK模型）开发一个严格的耦合框架。
• 沿路径分析流行病过程与分支过程的似然比，以量化其相对接近程度。
• 应用鞅集中不等式控制似然比中的偏差，确保高概率路径一致。

提出的方法

• 在同一概率空间上构建无限维BK模型流行病过程与分支过程之间的耦合。
• 使用长度为 $ M $ 的路径上两过程的似然比来评估其相对接近程度。
• 应用鞅集中不等式（引理4.1）以限制对数似然比过程的尾部概率。
• 定义一个停时 $ t' $，以控制至 $ M $ 次感染时的似然比，确保路径在该时间前一致。
• 使用条件 $ \text{Pr}[ ilde{L}_M^N - 1 > 1] $ 和 $ \text{Pr}[|1 - ilde{L}_M^N| > \varepsilon_{M,N}^r / 2] $ 来限制耦合失败的概率。
• 建立容差为 $ \varepsilon_{M,N}^r = C_r \psi(M,N) \sqrt{\log(1/\psi(M,N))} $ 的相对接近性，其中 $ \psi(M,N) = S_M \sqrt{M}/N $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续时间、无限维模型中，流行病过程与分支过程之间的路径耦合范围能否扩展至超过 $ o(N^{1/2}) $ 次感染？
• RQ2 在发生 $ M_N $ 次感染之前，何种条件可确保流行病过程与分支过程之间的似然比以高概率保持接近1？
• RQ3 如何在耦合框架中应用鞅集中不等式来控制似然比的偏差？
• RQ4 在BK模型中，流行病过程与分支过程之间总变差距离的最优收敛速率是什么？
• RQ5 在何种条件下，分支过程可作为流行病过程在发生 $ o(N^{2/3}) $ 次感染前的有效近似？

主要发现

• 流行病过程与分支过程可被耦合，使得其路径在发生 $ M_N = o(N^{2/3}) $ 次感染之前以渐近高概率一致。
• 在相同条件下，流行病过程与分支过程路径分布之间的总变差距离为渐近小。
• 通过鞅集中不等式严格控制了两过程的似然比，其尾部界限由引理4.1导出。
• 耦合误差被限制在 $ \varepsilon_{M,N}^r = C_r \psi(M,N) \sqrt{\log(1/\psi(M,N))} $ 内，其中 $ \psi(M,N) = S_M \sqrt{M}/N $，确保了相对接近性。
• 当 $ M \geq (1/5)C_r^2 \log N $ 且 $ \varepsilon_{M,N}^r \leq 1 $ 时，该界限成立，确保了在大种群极限下近似仍然有效。
• 本结果改进了Ball和Donnelly（1995）的工作，后者仅证明了在 $ o(N^{1/2}) $ 范围内的耦合，现将有效范围扩展至 $ o(N^{2/3}) $。