[论文解读] Coupling of HDG with a double-layer potential BEM

Zhixing Fu, Norbert Heuer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于双层势公式的新颖非对称耦合方法，用于在无界域中求解传输问题，将杂交不连续伽辽金（HDG）方法与边界元方法（BEM）相结合。该方法确保了离散一致强椭圆性，并实现了所有变量的最优收敛率 $\mathcal{O}(h^{k+1})$，且对某些场实现了 $\mathcal{O}(h^{k+2})$ 的超收敛，数值实验验证了其有效性。

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze a new coupling procedure for the Hybridizable Discontinuous Galerkin Method with Galerkin Boundary Element Methods based on a double layer potential representation of the exterior component of the solution of a transmission problem. We show a discrete uniform coercivity estimate for the non-symmetric bilinear form and prove optimal convergence estimates for all the variables, as well as superconvergence for some of the discrete fields. Some numerical experiments support the theoretical findings.

研究动机与目标

• 开发一种稳定、非对称的HDG与BEM耦合方法，用于求解有界域中变系数扩散问题与外部区域中拉普拉斯方程的传输问题。
• 克服在变扩散系数情况下，对非对称HDG-BEM格式证明强椭圆性的分析挑战。
• 为所有HDG和BEM变量建立最优收敛率，包括标量和通量近似中的超收敛。
• 提供一种框架，在保持HDG方法优势（如自由度减少和后处理潜力）的同时，通过BEM将HDG方法扩展至无界域。

提出的方法

• 该方法使用双层势表示，将外部解表示为界面上单层势的形式，从而将外部问题简化为边界积分方程。
• 在内部区域应用HDG方法，对骨架上的标量场、通量和迹未知量使用次数 $k \geq 0$ 的多项式。
• BEM部分使用双层势算子 $\mathcal{W}$，其在 $H^{1/2}(\Gamma)$ 上有界且强椭圆，从而支持稳定性分析。
• 通过将HDG弱形式与BEM积分方程耦合，构建非对称变分格式，得到单一非对称双线性形式。
• 基于双层势算子的性质与迹估计，证明了离散强椭圆性在网格尺寸 $h$ 和多项式次数 $k$ 上的一致性。
• 该方法允许对HDG解进行后处理，以获得 $\mathcal{O}(h^{k+2})$ 阶的超收敛近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种非对称的HDG-BEM耦合方法，确保变系数扩散问题的离散强椭圆性与最优收敛率？
• RQ2 内部区域扩散系数 $\kappa$ 的大小如何影响耦合HDG-BEM格式的稳定性和条件数？
• RQ3 在非对称耦合中，BEM部分采用双层势表示是否相比其他BEM格式能带来更好的稳定性和收敛性？
• RQ4 通过双层势与BEM耦合时，HDG变量中的超收敛是否能够保持？
• RQ5 在何种最小正则性假设下，仍可保证该耦合格式的最优收敛性？

主要发现

• 基于双层势的所提HDG-BEM耦合方法，对非对称双线性形式实现了离散一致强椭圆性，确保了离散系统的适定性。
• 所有HDG变量（标量场 $u_h$、通量 $\mathbf{q}_h$ 和迹未知量 $\widehat{u}_h$）的最优收敛率 $\mathcal{O}(h^{k+1})$ 得到证明。
• HDG标量和通量近似实现了 $\mathcal{O}(h^{k+2})$ 阶的超收敛，支持高精度后处理。
• 只要 $\kappa^{-1} \in L^\infty(\Omega)$，该方法对任意大小的扩散系数 $\kappa$ 均保持稳定与收敛，相较于某些对称耦合方法具有显著优势。
• 数值实验验证了理论收敛率，并展示了该方法在多边形与多面体区域上的有效性。
• 使用双层势确保了外部解自然满足辐射条件，且该方法能轻松处理非凸与非连通区域。