[论文解读] Coupling Tensors and Poisson Geometry Near a Single Symplectic Leaf

Yuriǐ Vorobjev|ArXiv.org|Aug 22, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文为泊松几何中的施特恩伯格耦合程序开发了一个反变版本，引入耦合张量以描述单个闭合辛叶附近的泊松结构。通过使用内在泊松联络和曲率，建立了此类结构邻域等价性的几何判据，得出泊松几何的惠特尼相对达布定理类比，并通过可递李代数丛定义了明确的线性化泊松模型。

ABSTRACT

In the framework of the connection theory, a contravariant analog of the Sternberg coupling procedure is developed for studying a natural class of Poisson structures on fiber bundles, called coupling tensors. We show that every Poisson structure near a closed symplectic leaf can be realized as a coupling tensor. Our main result is a geometric criterion for the neighborhood equivalence between Poisson structures over the same leaf. This criterion gives a Poisson analog of the relative Darboux theorem due to Weinstein. Within the category of the algebroids, coupling tensors are introduced on the dual of the isotropy of a transitive Lie algebroid over a symplectic base. As a basic application of these results, we show that there is a well defined notion of a ``linearized'' Poisson structure over a symplectic leaf which gives rise to a natural model for the linearization problem.

研究动机与目标

• 开发泊松几何中施特恩伯格耦合程序的反变版本。
• 利用耦合张量表征闭合辛叶附近的泊松结构。
• 为共享同一辛叶的泊松结构邻域等价性建立几何判据。
• 通过可递李代数丛定义在辛叶上具有规范性的线性化泊松结构。
• 将李代数丛上伴随联络的单值性与线性泊松单值性联系起来。

提出的方法

• 引入耦合张量作为泊松二阶张量场，其水平部分与满足曲率和雅可比恒等式的2-形式相关联。
• 使用埃雷斯曼联络及其水平提升，为纤维丛上的泊松结构建立几何框架。
• 应用舒滕演算与协变联络理论，推导时间依赖耦合张量的演化方程。
• 推导泊松结构同伦的同调方程，在垂直正交补上非退化时退化为线性方程。
• 在可递李代数丛的对偶上引入伴随联络，以建模线性化泊松结构。
• 建立从基空间中的闭路到模伴随作用的自同构群的同态，与约化线性泊松单值性相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个闭合辛叶附近的泊松结构是否都能表示为耦合张量？
• RQ2 何种几何条件可确保共享同一辛叶的两个泊松结构邻域等价？
• RQ3 如何通过李代数丛数据规范地确定辛叶上的线性化泊松结构？
• RQ4 可递李代数丛对偶上的伴随联络在建模叶附近泊松结构时起何作用？
• RQ5 伴随联络的单值性如何与线性泊松单值性的概念相关联？

主要发现

• 每个闭合辛叶附近的泊松结构在局部上可实现为耦合张量，为这类结构提供了通用模型。
• 内在泊松联络及其曲率构成泊松结构在共同辛叶附近邻域等价性的完整几何不变量。
• 在任意闭合辛叶上存在一个明确定义的线性化泊松结构，其由该叶的可递李代数丛决定。
• 可递李代数丛对偶上伴随联络的单值性诱导出到 Aut(g)/Ad(g) 的同态，与约化线性泊松单值性的定义一致。
• 耦合张量构造给出了相对达布定理的泊松类比，将惠特尼的结果推广至非平坦泊松结构。
• 时间依赖的耦合张量同伦由包含水平2-形式的协变导数与时间导数的线性方程组控制。