[论文解读] Courant algebroids, derived brackets and even symplectic supermanifolds

Dmitry Roytenberg|ArXiv.org|Oct 15, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 260

一句话总结

本文通过在偶辛超流形上构造同调向量场，引入了推导括号构造，以实现柯朗代数丛作为其在偶辛超流形上的同调向量场，为李双胚丛的德林费尔特双丛提供了新的几何框架。通过该构造证明了加倍定理，并将其推广至拟李双胚丛，同时计算了S²上SU(2)-协变泊松结构的泊松上同调，表明其为非平凡且不可缩放的形变。

ABSTRACT

In this dissertation we study Courant algebroids, objects that first appeared in the work of T. Courant on Dirac structures; they were later studied by Liu, Weinstein and Xu who used Courant algebroids to generalize the notion of the Drinfeld double to Lie bialgebroids. As a first step towards understanding the complicated properties of Courant algebroids, we interpret them by associating to each Courant algebroid a strongly homotopy Lie algebra in a natural way. Next, we propose an alternative construction of the double of a Lie bialgebroid as a homological hamiltonian vector field on an even symplectic supermanifold. The classical BRST complex and the Weil algebra arise as special cases. We recover the Courant algebroid via the derived bracket construction and give a simple proof of the doubling theorem of Liu, Weinstein and Xu. We also introduce a generalization, quasi-Lie bialgebroids, analogous to Drinfeld's quasi-Lie bialgebras; we show that the derived bracket construction in this case also yields a Courant algebroid. Finally, we compute the Poisson cohomology of a one-parameter family of SU(2)- covariant Poisson structures on S^2. As an application, we show that these structures are non-trivial deformations of each other, and that they do not admit rescaling.

研究动机与目标

• 通过强同伦李代数解释柯朗代数丛。
• 将李双胚丛的德林费尔特双丛重新表述为偶辛超流形上的同调向量场。
• 将推导括号构造推广至拟李双胚丛，并恢复柯朗代数丛。
• 计算S²上SU(2)-协变泊松结构的泊松上同调，并分析其形变性质。

提出的方法

• 使用推导括号技术，为每个柯朗代数丛关联一个强同伦李代数。
• 将李双胚丛的双丛构造为偶辛超流形上的同调向量场。
• 利用推导括号构造，从同调向量场恢复柯朗代数丛。
• 将推导括号形式化应用于拟李双胚丛，表明其同样产生柯朗代数丛。
• 通过泊松上同调复形中项链的形式邻域计算泊松上同调。
• 通过超流形技术将局部上同调与整体泊松上同调关联，以证明光滑情形的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯朗代数丛如何自然地与强同伦李代数相关联？
• RQ2 李双胚丛的德林费尔特双丛能否在偶辛超流形上几何地实现为同调向量场？
• RQ3 推导括号在从这类同调向量场重构柯朗代数丛中起什么作用？
• RQ4 拟李双胚丛如何推广标准情形，且它们是否仍可通过推导括号产生柯朗代数丛？
• RQ5 S²上SU(2)-协变泊松结构的泊松上同调是什么，它揭示了其形变理论的哪些信息？

主要发现

• 推导括号构造为李双胚丛的加倍定理提供了简洁证明。
• 李双胚丛的双丛被实现为偶辛超流形上的同调向量场，推广了经典BRST复形与韦伊代数。
• 拟李双胚丛通过推导括号构造产生柯朗代数丛，将框架扩展至严格双胚丛情形之外。
• 计算了S²上SU(2)-协变泊松结构的一参数族的泊松上同调，表明其存在非平凡形变类。
• 这些结构被证明彼此之间为非平凡形变，且不具有可缩放性，表明其具有不同的几何行为。