[论文解读] Courbes de genre 3 avec S3 comme groupe d'automorphismes

Jean-François Mestre|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过三元对称多项式构造了有限域上具有完整对称群 $S_3$ 作为自同构群的三性曲线。证明了当 $q = 3^n$ 且 $n$ 为奇数时，$D_q(3) \leq 3$；当 $q = 7^n$ 且 $n$ 为奇数时，$D_q(3) \leq 9$，从而确立了最优曲线的有界缺陷。关键贡献在于通过到具有受控弗罗贝尼乌斯迹的椭圆曲线乘积的同源关系，显式构造了最优的三性曲线。

ABSTRACT

this paper is devoted to the study of curves of genus 3 with group of automorphisms the symmetric group S3, principally over finite fields, in view to obtain optimal curves. For instance, we prove that, over the finite fields of char. 3, for any elliptic curve E with j-invariant not in F_3, there exists a curve of genus 3 whose jacobian is isogeneous to E^3; we have also results in char. 7, and these curves provide many examples of optimal curves in any char. Nous etudions les courbes de genre 3 dont le groupe d'automorphismes est S3, en vue d'obtenir des courbes optimales sur les corps finis. En particulier, en car. 3, si E est unecourbe elliptique dont l'invariant n'est pas dans F_3, il existe une telle courbe de genre 3 dont la jacobienne est isogene a E^3; dans le cas de la caracteristique 7, des resultats plus partiels sont obtenus. Par ailleurs, ces courbes semblent donner experimentalement de nombreux cas de courbes optimales.

研究动机与目标

• 研究定义在有限域上的三性曲线，其自同构群为 $S_3$，动机在于寻找具有大量有理点的曲线。
• 回应塞尔对是否存在关于 $\mathbb{F}_q$ 上 $g$-性曲线缺陷 $D_q(g)$ 的统一有界常数 $c(g)$ 的疑问。
• 通过利用对称多项式族和到椭圆曲线乘积的同源关系，显式构造 $\mathbb{F}_q$ 上的最优三性曲线，其中 $q = 3^n$ 且 $n$ 为奇数，以及 $q = 7^n$ 且 $n$ 为奇数。
• 通过 $S_3$-对称曲线族 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 证明：当 $q = 3^n$ 且 $n$ 为奇数时，缺陷 $D_q(3)$ 有界于 3；当 $q = 7^n$ 且 $n$ 为奇数时，有界于 9。
• 提供显式构造，使得在 $\mathbb{F}_{3^5}$ 上的曲线达到 $q+1+3m_q-3$ 个点，从而证明了已知上界的紧致性。

提出的方法

• 将三性曲线 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 参数化为由 $a_1T_1^4 + a_2T_1^2T_2 + a_3T_1T_3 + a_4T_2^2 = 0$ 定义的射影平面曲线，其中 $T_1 = X+Y+Z$，$T_2 = XY+YZ+ZX$，$T_3 = XYZ$，且 $S_3$ 自然作用于 $X,Y,Z$。
• 利用 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 的雅可比簇同源于 $E_1^2 \times E_2$ 的事实，其中 $E_1$ 和 $E_2$ 分别是 $C$ 关于 $S_3$ 中阶为 2 和阶为 3 的子群的商曲面。
• 通过韦伊配对建立 $E_1$ 和 $E_2$ 的 3-挠点之间的伽罗瓦相容同构，从而支撑同源结构。
• 通过选择具有匹配不变量或受控弗罗贝尼乌斯迹的椭圆曲线 $E_1$、$E_2$，在 $\mathbb{F}_q$ 上构造曲线，确保所得曲线具有期望的有理点数。
• 通过已知的椭圆曲线点数结果和迹条件，将 $S_3$-对称族 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 特殊化到 $\mathbb{F}_q$，以实现最优点数计数。
• 利用哈塞不变量和弗罗贝尼乌斯迹，通过公式 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1 + 3m_q - 3$（当 $q=3^5$ 时）控制三性曲线上的点数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $q = 3^n$ 且 $n$ 为奇数时，是否存在 $\mathbb{F}_q$ 上的三性曲线满足 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1+3m_q-3$，且缺陷 $D_q(3)$ 是否有界？
• RQ2 当 $q = 7^n$ 且 $n$ 为奇数时，能否构造满足 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1-3a$ 的曲线（对特定 $a$），且最大可能缺陷是多少？
• RQ3 能否利用 $S_3$-对称曲线族 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上构造出对大量 $q$ 均最优的三性曲线？
• RQ4 对于所有 $q = 3^n$ 且 $n$ 为奇数，缺陷 $D_q(3)$ 是否统一有界？若是，最佳可能界是多少？
• RQ5 当 $-a_2$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中不是平方数时，该构造能否推广至 $\mathbb{F}_{3^{2n}}$ 上的非超椭圆最优曲线？

主要发现

• 当 $q = 3^n$ 且 $n$ 为奇数时，$D_q(3) \leq 3$，且该界是紧的：存在曲线实现 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1+3m_q-3$。
• 当 $q = 7^n$ 且 $n$ 为奇数时，$D_q(3) \leq 9$，且存在满足 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1-3a$ 的曲线，其中 $a$ 可被 3 整除且模 7 为平方数；或满足 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1 \pm 3a$，其中 $a \equiv 1,4,5,7,8,11 \pmod{12}$。
• 在 $\mathbb{F}_{3^5}$ 上，存在满足 $\#C(\mathbb{F}_q) = 3^5 + 1 + 3 \cdot 31 - 3 = 256 + 1 + 93 - 3 = 347$ 的曲线，与劳特和塞尔给出的上界一致。
• 当 $a_3 = -1$ 且 $-a_2$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中不是平方数时，商曲线为 $j$-不变量为 0 的椭圆曲线，且 $\mathbb{F}_{3^{2n}}$ 上的三性曲线为非超椭圆且最优。
• 在 $p \leq 10000$ 的范围内，将 $S_3$-对称族特殊化后，约有 90% 的情况下可在 $\mathbb{F}_p$ 上得到最优曲线。
• 该构造产生了一条定义在 $\mathbb{Q}$ 上的三性曲线，其雅可比簇在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上同源于一个判别式属于 $\{-3,-7,-19,-43,-67,-163,-16,-28\}$ 的复乘椭圆曲线的立方。