[论文解读] Covariance Group for Null Geodesic Expansion Calculations, and its Application to the Apparent Horizon

Stephen L. Adler|arXiv (Cornell University)|May 16, 2021

Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文引入了一种非恒定标量协变群，用于零测地线膨胀的计算，其中通过位置相关因子 κ(x) 对出射和入射零向量 ℓ 和 n 进行重标度，可保持乘积 θℓθn 不变。该不变性确保了由 θℓ=0 定义的视界在不同坐标系下保持不变，从而为数值相对论和动态时空中的视界检测提供了稳健的诊断工具。

ABSTRACT

We show that the recipe for computing the expansions $ heta_\ell$ and $ heta_n$ of outgoing and ingoing null geodesics normal to a surface admits a covariance group with nonconstant scalar $\kappa(x)$, corresponding to the mapping $ heta_\ell o \kappa heta_\ell$, $ heta_n o \kappa^{-1} heta_n$. Under this mapping, the product $ heta_\ell heta_n$ is invariant, and thus the marginal surface computed from the vanishing of $ heta_\ell$, which is used to define the apparent horizon, is invariant. This covariance group naturally appears in comparing the expansions computed with different choices of coordinate system.

研究动机与目标

• 建立广义相对论中零测地线膨胀的坐标无关计算的数学框架。
• 解决数值相对论中因不同坐标选择而导致的视界检测模糊性问题。
• 证明在对零向量 ℓ 和 n 进行非恒定重标度时，乘积 θℓθn 保持不变，从而保持视界的物理位置不变。
• 提供一种诊断工具，用于在多种坐标系中通过 θℓθn 识别边缘曲面（如视界）。
• 阐明 θℓ 和 θn 在一般坐标变换下的变换行为，表明仅其乘积具有不变性。

提出的方法

• 引入由重标度 ℓν → κ(x)ℓν 和 nν → κ(x)−1nν 定义的协变群，其中 κ(x) 为一般时空依赖的标量。
• 使用投影算符 hμν = gμν + ℓμnν + ℓνnμ / 2，应用标准膨胀公式 θℓ = hμν∇μℓν 和 θn = hμν∇μnν。
• 证明在重标度下，θℓ → κθℓ 且 θn → κ−1θn，而 θℓθn 保持不变。
• 通过比较 Gullstrand–Painlevé 坐标系与 Schwarzschild 坐标系中的膨胀结果，验证 θℓθn 的不变性。
• 推导出两种坐标系下 θℓ 和 θn 的显式表达式，并通过变量变换和零向量重定义确认其变换行为。
• 利用 Schwarzschild 时空验证该框架，得出 θℓθn = −4(1−2M/r)/(r²(1−2M/r))，并确认视界位于 r=2M。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对零法向量 ℓ 和 n 进行非恒定重标度时，零测地线的膨胀 θℓ 和 θn 如何变换？
• RQ2 乘积 θℓθn 是否可作为定位视界的坐标无关诊断量？
• RQ3 为何不同的坐标系会给出 θℓ 和 θn 的不同数值，即使描述的是同一物理时空？
• RQ4 标量函数 κ(x) 在坐标变换下如何保持视界物理位置不变？
• RQ5 该协变群结构在如 Schwarzschild 这类球对称时空中的显式计算中如何体现？

主要发现

• 在对零向量进行非恒定重标度时，θℓ 和 θn 分别变换为 θℓ → κθℓ 和 θn → κ−1θn，而乘积 θℓθn 保持不变。
• 乘积 θℓθn 在整个协变群下保持不变，确保了由 θℓ=0 定义的视界与坐标系或 ℓ 和 n 的选择无关。
• 在 Gullstrand–Painlevé 坐标系中，θℓ = 2(c(r)−v(r))/(rc(r)) 且 θn = −2(c(r)+v(r))/(rc(r))，因此 θℓθn = −4(c(r)²−v(r)²)/(r²c(r)²)。
• 在 Schwarzschild 坐标系中，θℓ = 2/(rG(r)) 且 θn = −2/(rG(r))，因此 θℓθn = −4/(r²G(r)²)，经坐标变换后与 GP 结果一致。
• 坐标系之间的变换恰好对应于 κ(r) = G(r) + √(G(r)²−1) 的重标度，从而确认了协变结构。
• 对于 Schwarzschild 时空，视界位于 r=2M，且 θℓθn 在此处为零，表明在不同坐标系下保持一致。