[论文解读] Covariant Action for Self-Dual p-Form Gauge Fields in General Spacetimes

C.M. Hull|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2023

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文通过引入第二个度量 $\bar{g}$，在一般时空背景下提出了自对偶 p-形式规范场的协变作用量，取代了Sen依赖于固定闵可夫斯基度量的做法。该理论包含一个物理 sector（自对偶 p-形式耦合到 $g$）和一个解耦的影子 sector（在 $\bar{g}$ 下自对偶的 p-形式），保持微分同胚不变性，并可在任意时空流形上构造。其关键贡献是为自对偶规范场提供了完全协变、背景无关的作用量，且量子行为一致。

ABSTRACT

Sen's action for a $p$-form gauge field with self-dual field strength coupled to a spacetime metric $g$ involves an explicit Minkowski metric and the presence of this raises questions as to whether the action is coordinate independent and whether it can be used on a general spacetime manifold. A natural generalisation of Sen's action is presented in which the Minkowski metric is replaced by a second metric $\bar g$ on spacetime. The theory is covariant and can be formulated on any spacetime. The theory describes a physical sector, consisting of the chiral $p$-form gauge field coupled to the dynamical metric $g$, plus a shadow sector consisting of a second chiral $p$-form and the second metric $\bar g$. The fields in this shadow sector only couple to each other and have no interactions with the physical sector, so that they decouple from the physical sector. The resulting theory is covariant and can be formulated on any spacetime. Explicit expressions are found for the interactions and extensions to include interactions with other physical fields or higher-derivative field equations are given. A spacetime with two metrics has some interesting geometry and some of this is explored here and used in the construction of the interactions.The action has two diffeomorphism-like symmetries, one acting only on the physical sector and one acting only on the shadow sector, with the spacetime diffeomorphism symmetry arising as the diagonal subgroup. This allows a further generalisation in which $\bar g$ is not a tensor field but is instead a gauge field whose transition functions involve the usual coordinate transformation together with a shadow sector gauge transformation.

研究动机与目标

• 解决Sen在自对偶 p-形式规范场作用量中依赖于固定闵可夫斯基度量 $\bar{g} = \text{diag}(-1,1,...,1)$ 所导致的坐标依赖性问题。
• 构建一个在任意一般时空流形上有效的完全协变作用量，不局限于存在平坦度量的时空。
• 在时空度量 $g$ 下保持物理 sector 的自对偶性，同时引入一个在第二个度量 $\bar{g}$ 下自对偶的影子 sector。
• 通过将时空微分同胚对称性实现为作用于物理和影子 sector 的两个独立微分同胚类似对称性的对角子群，确保理论保持时空微分同胚不变性。
• 推广框架，使 $\bar{g}$ 在联合坐标变换和影子 sector 变换下可作为规范场变换，从而扩展理论的几何结构。

提出的方法

• 将Sen所用的固定闵可夫斯基度量 $\bar{g}$ 替换为时空流形上的动态第二度量 $\bar{g}_{\nu\beta}$，以实现一般协变性。
• 引入第二个手征性 p-形式规范场 $C$，其场强为 $G = dC$，通过 $\bar{*}$ 在 $\bar{g}$ 下实现自对偶，构成一个解耦的影子 sector。
• 使用投影算符 $\bar{\rho}_+$ 构造作用量，以强制实现物理场强 $F = dA$ 的自对偶性 $F = \bar{*}F$，同时对影子场满足 $G = \bar{*}G$。
• 实施两个独立的类似微分同胚的对称性：一个作用于 $g$ 和 $A$，另一个作用于 $\bar{g}$ 和 $C$，其中时空微分同胚对称性作为对角子群实现。
• 采用 tetrad 形式，引入标架连接 $\bar{\theta}^a$，并通过 $M(Q) = \bar{\rho}_+(Q)$ 定义映射 $M$，将场投影到自对偶分量。
• 推导作用量的变分，并通过验证 $\bar{\rho}_+(R_\theta(F)) = R_\theta(\bar{\rho}_+(F))$ 和 $\bar{\rho}_+(R_\theta(G)) = R_\theta(\bar{\rho}_+(G))$ 来证明其在微分同胚下的不变性，确保一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sen 所提出的自对偶 p-形式规范场作用量能否推广为在任意时空流形上成立的完全协变形式？
• RQ2 用第二个时空度量 $\bar{g}$ 取代固定的闵可夫斯基度量是否能保持物理内容，同时确保微分同胚不变性？
• RQ3 如何引入一个不与物理 sector 相互作用的、在 $\bar{g}$ 下自对偶的非物理影子场？
• RQ4 两个独立的类似微分同胚的对称性在构造中起什么作用？它们如何组合以实现时空微分同胚不变性？
• RQ5 能否将第二个度量 $\bar{g}$ 提升为在联合坐标变换和影子 sector 变换下具有非张量性变换规则的规范场，从而扩展理论的几何结构？

主要发现

• 所提出的动作是完全协变的，可在任意时空流形上构造，解决了Sen原始构造中的坐标依赖性问题。
• 该理论包含一个物理 sector（在 $g$ 下自对偶的 p-形式）和一个解耦的影子 sector（在 $\bar{g}$ 下自对偶的 p-形式），二者之间无相互作用，确保了物理 sector 的一致性。
• 该动作表现出两个独立的类似微分同胚的对称性：一个作用于物理场 $(g, A)$，另一个作用于影子场 $(\bar{g}, C)$，其中时空微分同胚对称性作为对角子群实现。
• 在参数为 $\theta^\nu$ 的微分同胚下，动作的变分在物理上（on-shell）为零，当满足 $\bar{\rho}_+(R_\theta(F)) = R_\theta(\bar{\rho}_+(F))$ 时，确认了不变性。
• 场强 $F = dA$ 在 $g$ 下自对偶，而 $G = dC$ 在 $\bar{g}$ 下自对偶，且当 $dF = 0$ 和 $dG = 0$ 在物理上成立时，动作在 $\theta$ 生成的微分同胚下保持不变。
• 该构造允许通过陈-西蒙斯项和高阶导数修正引入与其他物理场的相互作用，同时保持核心结构不变。