[论文解读] Covariant Chiral Kinetic Equation in Non-Abelian Gauge field from "covariant gradient expansion"

Xiao-Li Luo, Jian-Hua Gao|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2021

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一句话总结

该论文利用Wigner函数形式和协变梯度展开，首次推导出非阿贝尔SU(N)规范场中的协变手征性动力学方程。结果表明，手征性Wigner函数仅时间分量独立，从而简化了八维相空间方程，并推导出手征性磁效应和涡旋效应的非阿贝尔对应形式，其中手征异常源于动量空间中的贝里曲率。

ABSTRACT

We derive the chiral kinetic equation in 8 dimensional phase space in non-Abelian $SU(N)$ gauge field within the Wigner function formalism. By using the "covariant gradient expansion", we disentangle the Wigner equations in four-vector space up to the first order and find that only the time-like component of the chiral Wigner function is independent while other components can be explicit derivative. After further decomposing the Wigner function or equations in color space, we present the non-Abelian covariant chiral kinetic equation for the color singlet and multiplet phase-space distribution functions. These phase-space distribution functions have non-trivial Lorentz transformation rules when we define them in different reference frames. The chiral anomaly from non-Abelian gauge field arises naturally from the Berry monopole in Euclidian momentum space in the vacuum or Dirac sea contribution. The anomalous currents as non-Abelian counterparts of chiral magnetic effect and chiral vortical effect have also been derived from the non-Abelian chiral kinetic equation.

研究动机与目标

• 将手征性动力学理论从阿贝尔推广至非阿贝尔SU(N)规范场，以描述重离子碰撞中的夸克-胶子等离子体。
• 解决从经典色场（如色玻璃凝聚态）到夸克-胶子等离子体的退相干问题。
• 利用Wigner函数形式，建立非阿贝尔场中手征性输运的洛伦兹和规范不变框架。
• 从第一原理推导出非阿贝尔手征性异常及异常电流（如手征性磁效应和涡旋效应）。
• 阐明非阿贝尔手征性动力学理论中相空间分布函数的参考系依赖性。

提出的方法

• 将‘协变梯度展开’应用于SU(N)规范场中无质量费米子的Wigner方程，展开至一阶。
• 在四维矢量空间中解耦Wigner方程，表明仅时间分量独立；空间分量可表示为其导数。
• 在色空间中分解Wigner函数，揭示色单重态与多重态相空间分布之间的耦合。
• 使用广义动量和导数算符（Πµ, Gµ），以紧凑形式写出Wigner方程（式2.14–2.17）。
• 实施不同参考系中分布函数的洛伦兹变换规则，表明其变换行为被修正。
• 将一阶动力学方程与费米-狄拉克分布相乘，计算矢量和轴向电流，识别出异常输运系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将手征性动力学方程一致地从阿贝尔推广至非阿贝尔SU(N)规范场？
• RQ2 在非阿贝尔手征性动力学理论中，Wigner函数的时间分量起什么作用？空间分量如何与之关联？
• RQ3 非阿贝尔手征性异常及异常电流（如手征性磁效应和涡旋效应）如何从Wigner函数形式中自然涌现？
• RQ4 在非阿贝尔手征性动力学理论中，相空间分布函数在洛伦兹提升下如何变换？
• RQ5 非阿贝尔规范场中异常输运系数的显式表达式是什么？它们如何退化为阿贝尔情形？

主要发现

• 在非阿贝尔规范场中，手征性Wigner函数仅时间分量独立，所有空间分量均可表示为其导数。
• 非阿贝尔手征性异常自然源于色单重态Wigner函数真空贡献中的四维贝里曲率。
• 非阿贝尔手征性磁效应和涡旋效应被推导出，输运系数为ξI = T²/6 + 1/(4π²N)Σᵢ μᵢ² 和 ξIa_B = -g/(4π²N)Σᵢ tᵃᵢᵢ μᵢ，当N=1时退化为阿贝尔结果。
• 由涡度和色场诱导的矢量和轴向电流显式满足洛伦兹协变性，表达式为j(1)Iμ = ξI ωμ + ξIa_B Baμ 和 j(1)aμ = ξa ωμ + ξab_B Bbμ。
• 相空间分布函数在洛伦兹提升下非平凡变换，其变换规则依赖于参考系速度nμ。
• 轴向电流的异常输运系数包括ξa = s/(2π²)Σᵢ tᵃᵢᵢ μᵢ² 和 ξab_B = -g/(4π²)(δab/N Σᵢ μᵢ + dᵃᵇᶜ/2 Σᵢ tᶜᵢᵢ μᵢ)，这些是非阿贝尔理论独有的。