[论文解读] Covariant differentiation of spinors for a general affine connection

Nikodem J. Popławski|ArXiv.org|Oct 22, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本论文推导了在一般仿射联络下旋量的协变导数，该联络不局限于度量相容性，使用 Fock–Ivanenko 系数与洛伦兹联络的反对称部分。建立了以黎曼曲率张量和非度量性表示的曲率旋量，并证明了旋量联络的投影不变性，从而可在弯曲时空引入规范场。

ABSTRACT

We show that the covariant derivative of a spinor for a general affine connection, not restricted to be metric compatible, is given by the Fock-Ivanenko coefficients with the antisymmetric part of the Lorentz connection. The projective invariance of the spinor connection allows to introduce gauge fields interacting with spinors. We also derive the relation between the curvature spinor and the curvature tensor for a general connection.

研究动机与目标

• 将旋量的协变导数推广至广义相对论场论中非度量相容的联络。
• 在具有非度量性和挠率的度量-仿射引力中，建立旋量演算的一致表述。
• 推导一般联络下的曲率旋量，并将其与黎曼曲率张量关联。
• 探讨旋量联络的投影不变性及其对规范场相互作用的含义。
• 为在具有非度量性和挠率的理论中实现旋量场与引力的耦合提供基础。

提出的方法

• 使用 tetrad（ tetrad ）和洛伦兹联络在弯曲时空中定义旋量场，以确保局部洛伦兹不变性。
• 应用 Fock–Ivanenko 系数，结合洛伦兹联络的反对称部分，定义旋量的协变导数。
• 通过生成元 $ G^{ab} $，将曲率旋量 $ K_{\mu\nu} $ 用黎曼张量和非度量性表示。
• 引入旋量联络的投影变换，证明曲率旋量在该变换下保持不变。
• 将曲率旋量与第二类里奇张量 $ Q_{\mu\nu} $ 关联，后者在投影平移下发生变换。
• 利用变换律 $ \omega^{ab}_{\mu} \to \omega^{ab}_{\mu} + \eta^{ab}A_{\mu} $ 分析投影不变性与规范结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为非度量相容的一般仿射联络一致地定义旋量的协变导数？
• RQ2 对于一般联络，曲率旋量在黎曼曲率张量和非度量性下的显式形式是什么？
• RQ3 旋量联络的投影不变性如何允许在弯曲时空中引入规范场？
• RQ4 曲率旋量在旋量联络的投影变换下表现出怎样的变换行为？
• RQ5 在一般仿射联络下，里奇张量 $ R^{a}_{\mu} $、$ P^{a}_{\mu} $ 和 $ Q_{\mu\nu} $ 之间有何关系？

主要发现

• 对于一般仿射联络，旋量的协变导数由 Fock–Ivanenko 系数与洛伦兹联络的反对称部分给出。
• 曲率旋量 $ K_{\mu\nu} $ 的表达式为 $ \frac{1}{4}R_{[\rho\sigma]\mu\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma} - \frac{1}{8}N_{\rho\lambda[\mu}N^{\rho\sigma}_{\phantom{\rho\sigma}\nu]}\gamma^{\lambda}\gamma_{\sigma} $，将其与黎曼张量和非度量性联系起来。
• 曲率旋量在旋量联络的投影变换下保持不变，从而可通过 $ A_{\mu} $ 引入规范场。
• 第二类里奇张量 $ Q_{\mu\nu} $ 的变换行为为 $ Q_{\mu\nu} \to Q_{\mu\nu} + 8A_{[\nu,\mu]} $，表明其对投影平移敏感。
• 当 $ [A_{\mu}, A_{\nu}] = 0 $ 时，张量 $ I^{a}_{\mu} = 4P^{a}_{\mu} - Q_{\mu\nu}e^{a\nu} $ 具有投影不变性，表明存在一个守恒结构。
• 标量曲率 $ R $ 和张量 $ R^{a}_{\mu} $ 具有投影不变性，表明在联络重定义下关键几何不变量得以保持。