[论文解读] Covariant Hamiltonians, sigma models and supersymmetry

Ulf Lindström|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种基于与费米子导数对偶的旋量正则动量的(1,1)超对称sigma模型的协变哈密顿形式化，将De Donder-Weyl形式化推广至超空间。它推导出多重辛结构和哈密顿多向量，证明其与拉格朗日方程等价，并通过扩展相空间揭示了额外的非显式超对称性，包括在T ⊕ T* ⊕ T*上构造的一阶母作用量，该作用量在目标空间几何满足特定微分几何条件时表现出增强的超对称性。

ABSTRACT

We introduce a phase space with spinorial momenta, corresponding to fermionic derivatives, for a 2d supersymmetric (1, 1) sigma model. We show that there is a generalisation of the covariant De Donder-Weyl Hamiltonian formulation on this phase space with canonical equations equivalent to the Lagrangian formulation, find the corresponding multisymplectic form and Hamiltonian multivectors. The covariance of the formulation makes it possible to see how additional non-manifest supersymmetries arise in analogy to those of the Lagrangian formulation. We then observe that an intermediate phase space Lagrangian defined on the sum of the tangent and cotanget spaces is a first order Lagrangian for the sigma model and derive additional supersymmetries for this.

研究动机与目标

• 开发基于与费米子导数对偶的旋量正则动量的(1,1)超对称sigma模型的协变哈密顿形式化。
• 将De Donder-Weyl哈密顿形式化推广至超空间，保持(1,1)超庞加莱不变性。
• 通过分析T ⊕ T* ⊕ T*上的扩展相空间模型，识别出额外的非显式超对称性。
• 将哈密顿结构与广义几何联系起来，特别是通过在存在挠率和度量相容性时出现的Gualtieri型映射。
• 推导出一个一阶母作用量，统一拉格朗日与哈密顿结构，从而系统研究扩展的超对称性。

提出的方法

• 引入旋量正则动量 S±i = ∂L/∂D±φi，通过协变勒让德变换将拉格朗日形式转化为De Donder-Weyl哈密顿量 HDW = S−i Eij S+i。
• 构造多重辛形式 Ω = Cαβ Eβ ∧ dφi ∧ dSαi 和哈密顿多向量 X = XAα ∂A ∧ Eα，以编码正则方程。
• 从 HDW 推导出 De Donder-Weyl 方程：Dαφi = ∂HDW/∂Sαi 与 DαSαi = ∂HDW/∂φi，证明其与原始场方程等价。
• 通过分次反对称化与Hodge对偶性定义广义泊松括号 { , }GP，其共轭对满足 {φi, Sj}GP = δij。
• 在相空间 T ⊕ T* ⊕ T* 上构造一阶母作用量 Zt E Z，其中 Z = (D+φi, D−φi, S−i, S+i)，E 为编码度量与挠率的对称矩阵。
• 分析母作用量在扩展超对称变换 δφi = ε+ J(+)i j D+φj + ε− J(−)i j D−φj 下的不变性，证明其闭合性与协变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将De Donder-Weyl哈密顿形式化推广至具有旋量正则动量的(1,1)超对称sigma模型？
• RQ2 在此协变超对称哈密顿框架中，多重辛形式与哈密顿多向量的结构为何？
• RQ3 额外的非显式超对称性如何从T ⊕ T* ⊕ T*上的扩展相空间模型中涌现？
• RQ4 目标空间几何（度量Gij、B-场Bij、挠率Hijk）需满足何种条件，才能保证这些扩展超对称性的存在？
• RQ5 T ⊕ T* ⊕ T*上的一阶母作用量如何统一拉格朗日与哈密顿形式，并揭示隐藏对称性？

主要发现

• 协变哈密顿量 HDW = S−i Eij S+i 完全保持(1,1)超庞加莱不变性，且与原始拉格朗日场方程等价。
• 在施加正则关系后，从 HDW 推导出的 De Donder-Weyl 方程可重现场方程 (2.4)。
• 多重辛形式 Ω = Cαβ Eβ ∧ dφi ∧ dSαi 与哈密顿多向量 X 满足 X⌟Ω = dHDW，为动力学提供了几何表述。
• 广义泊松括号 { , }GP 满足 {φi, Sj}GP = δij 与 {Qiα, H}GP = ∂iα HDW，确认了其共轭性。
• 一阶母作用量 Zt E Z 在扩展超对称变换 δφi = ε+ J(+)i j D+φj + ε− J(−)i j D−φj 下保持不变，前提是 J(±) 为保持度量且无挠率的联络。
• 当 B = 0 时，动量变换简化为 δS+i = ε+ (Jk i ∇−S−k − Jks S−s S+n Γn ki) 与 δS−i = −ε+ (Jk i ∇+S−k + Jks S−s S−n Γn ki)，表明其在超对称代数下保持闭合。