[论文解读] Covariant Perturbation Theory (IV). Third Order in the Curvature

A. O. Barvinsky, Yu. V. Gusev+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 50

一句话总结

本文通过协变微扰理论，对一般微分算子的热核和一阶有效作用量进行了三阶曲率展开的计算，推导出所有形式因子和积分表示。该研究建立了一套非局域不变量基，推导了二维和四维中的迹异常，并揭示了非局域有效作用量如何生成局域异常的机制，包括在四维中通过非局域恒等式出现高斯-邦内特恒等式的机制。

ABSTRACT

The trace of the heat kernel and the one-loop effective action for the generic differential operator are calculated to third order in the background curvatures: the Riemann curvature, the commutator curvature and the potential. In the case of effective action, this is equivalent to a calculation (in the covariant form) of the one-loop vertices in all models of gravitating fields. The basis of nonlocal invariants of third order in the curvature is built, and constraints arising between these invariants in low-dimensional manifolds are obtained. All third-order form factors in the heat kernel and effective action are calculated, and several integral representations for them are obtained. In the case of effective action, this includes a specially generalized spectral representation used in applications to the expectation-value equations. The results for the heat kernel are checked by deriving all the known coefficients of the Schwinger-DeWitt expansion including $a_3$ and the cubic terms of $a_4$. The results for the effective action are checked by deriving the trace anomaly in two and four dimensions. In four dimensions, this derivation is carried out by several different techniques elucidating the mechanism by which the local anomaly emerges from the nonlocal action. In two dimensions, it is shown by a direct calculation that the series for the effective action terminates at second order in the curvature. The asymptotic behaviours of the form factors are calculated including the late-time behaviour in the heat kernel and the small-$\Box$ behaviour in the effective action. In quantum gravity, the latter behaviour contains the effects of vacuum radiation including the Hawking effect.

研究动机与目标

• 计算一般二阶微分算子的热核迹和一阶有效作用量，展开至曲率的三阶。
• 构建曲率三阶的非局域不变量的完整基，并识别低维流形中的约束条件。
• 通过多种积分表示（包括谱表示和α表示）推导并验证有效作用量中所有形式因子。
• 与施温格-德维特展开保持一致，并在二维和四维中重现迹异常。
• 揭示非局域有效作用量如何生成局域迹异常的机制，并展示在四维中高斯-邦内特恒等式如何通过非局隆恒等式出现。

提出的方法

• 应用协变微扰理论，计算热核和有效作用量，展开至黎曼曲率、对易曲率和势能项的三阶。
• 系统分类非局域三次不变量，通过指标反对称化和分部积分推导约束。
• 为有效作用量中的形式因子推导多种积分表示——α表示、拉普拉斯表示和广义谱表示。
• 通过匹配施温格-德维特展开中的已知系数（包括a3和a4的三次项）对结果进行交叉验证。
• 通过多种独立方法（包括谱方法）推导二维和四维的迹异常。
• 对渐近行为进行详细分析——热核的长时间行为和有效作用量的小-✷行为，包括与真空辐射和霍金效应的关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过协变微扰理论系统计算热核和一阶有效作用量至曲率的三阶？
• RQ2 曲率三阶的非局域不变量的完整基是什么？在低维流形中它们之间存在何种约束？
• RQ3 非局域有效作用量如何生成如二维和四维中的迹异常等局域异常？
• RQ4 在四维中，高斯-邦内特恒等式如何从有效作用量中的非局域恒等式中出现？
• RQ5 热核和有效作用量中形式因子的渐近行为如何与霍金效应等物理现象相关？

主要发现

• 所有热核和有效作用量中的三阶形式因子均已计算，并以多种积分表示形式表达，包括α-、拉普拉斯-和广义谱形式。
• 四维中的迹异常通过多种独立方法成功推导，确认了一致性，并揭示了非局域到局域的涌现机制。
• 在二维中，有效作用量在曲率的二阶终止，所有三阶项因与四维中局域异常生成机制相同而消失。
• 在四维中，非局域三次不变量基之间仅存在一个约束，使一般不变量的维数从29降至28，引力不变量的维数从10降至9。
• 附录中推导的非局域恒等式解释了四维中高斯-邦内特恒等式的出现，是特定形式因子下非局域项相互抵消的结果。
• 有效作用量的小-✷渐近行为捕捉了真空辐射效应，包括量子引力中的霍金效应。