[论文解读] Covariant quantum kernels for data with group structure

Jennifer R. Glick, Tanvi P. Gujarati+5 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 53被引用 33

一句话总结

本文提出了用于具有群结构的数据的协变量子核，通过单位群表示和一个可调的基准态来定义核，并在27量子比特超导设备上利用核对齐实现对具有商集结构的数据的学习。

ABSTRACT

The use of kernel functions is a common technique to extract important features from data sets. A quantum computer can be used to estimate kernel entries as transition amplitudes of unitary circuits. Quantum kernels exist that, subject to computational hardness assumptions, cannot be computed classically. It is an important challenge to find quantum kernels that provide an advantage in the classification of real-world data. We introduce a class of quantum kernels that can be used for data with a group structure. The kernel is defined in terms of a unitary representation of the group and a fiducial state that can be optimized using a technique called kernel alignment. We apply this method to a learning problem on a coset-space that embodies the structure of many essential learning problems on groups. We implement the learning algorithm with $27$ qubits on a superconducting processor.

研究动机与目标

• 动机并解决在真实世界具有群结构的数据上实现基于核的学习的量子优势的挑战。
• 使用单位群表示和可在量子硬件上高效制备的基准态来定义协变量子核。
• 展示如何通过基准态优化（核对齐）提升对具有商集结构数据的分类性能。
• 在27量子比特的超导处理器上演示实现协变核的硬件实验。
• 强调误差缓解在提升核质量和学习结果中的作用。

提出的方法

• 使用单位群表示 D_x 和通过高效电路 V 制备的基准态 |psi>，定义协变特征映射 Phi(x)=D_x |psi><psi| D_x^†。
• 将核表示为 K(x, x̃)=|<psi| D_x^† D_x̃ |psi>|^2，相当于特征态之间的跃迁幅度。
• 通过对将 D_x^† D_x̃ 作用于基准态后测量全零结果来估计重叠，从而实现量子核估计（QKE）。
• 通过核对齐优化基准态 |psi>，求解 min_lambda max_alpha F(alpha, lambda)，其中 F 由与 SVM 相关的泛化误差上界给出。
• 使用基于随机SPSA的程序，根据在量子处理器上评估的核矩阵来更新基准态参数 lambda。
• 在商集空间学习问题（LCE）上进行实验验证，并比较缓解与未缓解硬件运行。

Figure 1: Labeling cosets . (a), (b) Two covariant feature maps for a single-qubit example of the labeling cosets learning problem introduced in the text. We take $S=\{\mathds{1},A,A^{2}\}$ as subgroup of $G=SU(2)$ , where $A=\exp(i(2\pi/3)X)$ . Choosing two elements ${\bm{c}}_{+},{\bm{c}}_{-}\in SU

实验结果

研究问题

• RQ1 协变量子核是否能够利用群结构，在基于商集的数据上相对于经典学习者获得优势？
• RQ2 基准态的选择如何影响核的表达能力和学习性能？
• RQ3 误差缓解对量子核估计质量以及下游分类准确性有何影响？
• RQ4 核对齐在实际量子硬件设置中如何引导基准态优化？

主要发现

• 通过群表示和基准态定义的协变量子核提供了一个可学习的、左不变的核，适用于群结构数据。
• 使用变分基准态的核对齐可以提升分类性能，在误差缓解下更快达到理想参数值。
• 在27量子比特超导处理器上的硬件演示显示在 LCE 商集问题上成功的核估计和高准确度分类。
• 误差缓解显著改善核成本景观并加速基准态优化的收敛。
• 实验设置使用 SU(2)^{⊗27} 具有图稳定子群，展示了协变核在近端设备上的实用性。
• 结果与理论指示一致，即量子核在特定群结构任务上可能优于经典学习者。

Figure 2: Device layout and circuit mapping. (a) The connectivity of the 27-qubit device ibmq_kolkata . (b) The quantum circuit used to evaluate the kernel matrix elements for the learning problem labeling cosets with errors . Here, we define the single-qubit rotations as $R_{P}(\phi)=\exp(-i(\phi/2