[论文解读] Cover Time and Broadcast Time

Robert Elsässer⋆, Thomas Sauerwald|ArXiv.org|Feb 10, 2009

Optimization and Search Problems参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文建立了随机游走覆盖时间与图上随机谣言传播中广播时间之间的紧密理论关系。通过引入一种新颖的技术，将这两个度量联系起来，证明了对于最小度为δ的图，覆盖时间至多为广播时间的O(|E|/δ · log n)倍，证实了稠密图中长期存在的直觉，并表明其与混合时间或谱隙的关系更为紧密。

ABSTRACT

We introduce a new technique for bounding the cover time of random walks by relating it to the runtime of randomized broadcast. In particular, we strongly confirm for dense graphs the intuition of Chandra et al. \cite{CRRST97} that "the cover time of the graph is an appropriate metric for the performance of certain kinds of randomized broadcast algorithms". In more detail, our results are as follows: For any graph $G=(V,E)$ of size $n$ and minimum degree $δ$, we have $\mathcal{R}(G)= \Oh(\frac{|E|}δ \cdot \log n)$, where $\mathcal{R}(G)$ denotes the quotient of the cover time and broadcast time. This bound is tight for binary trees and tight up to logarithmic factors for many graphs including hypercubes, expanders and lollipop graphs. For any $δ$-regular (or almost $δ$-regular) graph $G$ it holds that $\mathcal{R}(G) = Ω(\frac{δ^2}{n} \cdot \frac{1}{\log n})$. Together with our upper bound on $\mathcal{R}(G)$, this lower bound strongly confirms the intuition of Chandra et al. for graphs with minimum degree $Θ(n)$, since then the cover time equals the broadcast time multiplied by $n$ (neglecting logarithmic factors). Conversely, for any $δ$ we construct almost $δ$-regular graphs that satisfy $\mathcal{R}(G) = \Oh(\max \{\sqrt{n},δ\} \cdot \log^2 n)$. Since any regular expander satisfies $\mathcal{R}(G) = Θ(n)$, the strong relationship given above does not hold if $δ$ is polynomially smaller than $n$. Our bounds also demonstrate that the relationship between cover time and broadcast time is much stronger than the known relationships between any of them and the mixing time (or the closely related spectral gap).

研究动机与目标

• 正式建立随机游走在图上的覆盖时间与随机谣言传播中广播时间之间的关系。
• 验证Chandra等人提出的长期直觉：覆盖时间是随机广播算法的自然性能度量。
• 分析不同图族（包括稠密图与稀疏图）中覆盖时间与广播时间的比值。
• 证明覆盖时间与广播时间之间的关系显著强于与混合时间或谱隙的关系。
• 构造极值图，以展示该关系在稀疏设置下的极限。

提出的方法

• 提出一种新的分析技术，通过图的结构特性（特别是最小度δ）将覆盖时间与广播时间关联起来。
• 使用改进的广播模型（随机推送算法），并分析所有顶点被通知所需的时间，条件是先前已发生覆盖事件。
• 应用概率论证与集中不等式（例如并集界）以证明在特定条件下广播的高概率收敛。
• 采用图构造方法，如Harary图与二维环面图，生成具有受控度与直径的极值示例。
• 利用电气网络理论与基于流的论证来界定覆盖时间，建立在Chandra等人先前工作的基础之上。
• 通过组合与概率方法（包括路径长度与连通性论证）推导出比值R(G) = COV(G)/BLA(G)的上下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机谣言传播中，图的覆盖时间是否与广播时间紧密相关，特别是在稠密图中？
• RQ2 覆盖时间与广播时间的比值是否可在不同图族中统一有界，其依赖于最小度δ的程度如何？
• RQ3 该关系在稀疏图中是否仍然成立，还是在δ为n的次线性函数时失效？
• RQ4 覆盖时间-广播时间关系与已知的混合时间或谱隙关系相比如何？
• RQ5 能否通过极值图构造来证明理论比值R(G) = COV(G)/BLA(G)的紧致性？

主要发现

• 对于任意大小为n、最小度为δ的图G，比值R(G) = COV(G)/BLA(G)的上界为O(|E|/δ · log n)，在二叉树、超立方体、扩展图与棒棒糖图中，该界在对数因子内是紧致的。
• 对于δ-正则或近乎δ-正则的图，R(G)至少为Ω(δ²/(n log n))，表明当δ = Θ(n)时，覆盖时间约为广播时间的n倍（对数因子内），证实了Chandra等人的直觉。
• 本文构造了近乎δ-正则的图，使得R(G) = O(max{√n, δ} · log²n)，表明当δ相对于n为多项式更小时，该强关系会失效。
• 对于最大度Δ = O(δ)的图，比值COV(G)/diam(G)为Ω(max{√n, δ} · √log n)，表明直径本身无法解释覆盖时间性能差的原因。
• 覆盖时间与广播时间之间的关系严格强于与混合时间或谱隙的关系，支持如下层次结构：低混合时间 ⇒ 低广播时间 ⇒ 低覆盖时间。
• 反例表明，即使对于正则图，覆盖时间有界于polylog(直径)也并不意味着广播时间有界于polylog(直径)，该逆命题一般不成立。