[论文解读] Covering Metric Spaces by Few Trees

Yair Bartal, Nova Fandina+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Topology and Set Theory被引用 9

一句话总结

本文提出了在一般度量空间、平面度量空间和Doubling度量空间中构建树覆盖和Ramsey树覆盖的确定性算法，实现了在少量树情况下的近乎最优畸变。提出了一种针对Doubling度量的新颖分层聚类方法，得到(1+ϵ)-畸变的树覆盖，仅需(1/ϵ)^O(log λ)棵树——相比先前工作避免了Steiner点，并在边数的渐近最优性上达到匹配。

ABSTRACT

A tree cover of a metric space (X,d) is a collection of trees, so that every pair x,y in X has a low distortion path in one of the trees. If it has the stronger property that every point x in X has a single tree with low distortion paths to all other points, we call this a Ramsey tree cover. Tree covers and Ramsey tree covers have been studied by [Yair Bartal et al., 2005; Anupam Gupta et al., 2004; T-H. Hubert Chan et al., 2005; Gupta et al., 2006; Mendel and Naor, 2007], and have found several important algorithmic applications, e.g. routing and distance oracles. The union of trees in a tree cover also serves as a special type of spanner, that can be decomposed into a few trees with low distortion paths contained in a single tree; Such spanners for Euclidean pointsets were presented by [S. Arya et al., 1995]. In this paper we devise efficient algorithms to construct tree covers and Ramsey tree covers for general, planar and doubling metrics. We pay particular attention to the desirable case of distortion close to 1, and study what can be achieved when the number of trees is small. In particular, our work shows a large separation between what can be achieved by tree covers vs. Ramsey tree covers.

研究动机与目标

• 开发在一般度量空间、平面度量空间和Doubling度量空间中构建树覆盖和Ramsey树覆盖的高效确定性算法。
• 在少量树的情况下实现近乎最优的畸变(1+ϵ)，尤其在欧几里得空间和Doubling空间中避免使用Steiner点。
• 建立Ramsey树覆盖畸变的紧下界，揭示树覆盖与Ramsey树覆盖之间存在显著差异。
• 通过将分隔器分解为少量低畸变路径的树，改进分隔器构造，实现边数的渐近最优。

提出的方法

• 提出一种针对Doubling度量的新颖自底向上的分层聚类方法，实现低畸变树覆盖的构造。
• 采用改进的分层划分技术，对任意α，实现O(α)畸变和O(λ^{1/α} · log λ · log α)棵树的树覆盖。
• 引入N-环图的递归构造（递归N-环图），以建立Ramsey树覆盖的下界。
• 证明[C_{2N}]^k_β可嵌入到具有O(1)Doubling维数的系列-并行图中，且畸变为常数。
• 运用概率论和归纳法论证，通过环度量和基于着色的划分方法，证明Ramsey树覆盖畸变的下界。
• 利用已知的关于概率树嵌入和分隔器构造的结果，推导出权衡关系和最优性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Doubling度量中构造出畸变为(1+ϵ)的树覆盖，且树的数量在1/ϵ的指数上为亚指数级，且不使用Steiner点？
• RQ2 在一般度量和Doubling度量中，树覆盖的畸变与树数之间的最优权衡是什么？
• RQ3 在树数较小时，树覆盖与Ramsey树覆盖之间是否存在超常数的畸变分离？
• RQ4 O(1)-树覆盖能否在平面图或无小minor图中实现畸变1+ϵ？还是畸变Ω(log n)不可避免？
• RQ5 在Doubling度量中，大小为k的Ramsey树覆盖的畸变是否存在紧下界？

主要发现

• 对于任意Doubling常数λ的Doubling度量，存在(1+ϵ)-畸变的树覆盖，其树的数量为(1/ϵ)^O(log λ)，相比先前结果避免了对Steiner点的需求。
• 所得分隔器中的边数为n/ϵ^O(log λ)，这是渐近最优的。
• 对任意α ≥1，构造出畸变为O(α)、树数为O(λ^{1/α} · log λ · log α)的树覆盖，优于[CGMZ05]，并匹配已知下界。
• 在n点Doubling度量中，任何Ramsey(α,k)-树覆盖的畸变下界为Ω(n^{1/k})，表明其与标准树覆盖存在显著分离。
• 递归N-环图构造可将[C_{2N}]^k_3以常数畸变嵌入到O(1)Doubling维数的系列-并行图中，使该下界可推广至平面图和无小minor图。
• 本文表明，平面图的O(1)-树覆盖可实现常数畸变，但要实现畸变1+ϵ则需O((log n)/ϵ)^2棵树，揭示了其中的权衡关系。