[论文解读] Covering theorems and Lebesgue integration

Peter A. Loeb, Erik Talvila|ArXiv.org|Jan 2, 2001

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过使用关于不相交、$λ$-莫尔斯集的黎曼和，这些集合相对于一个容度函数是$δ$-精细的，建立了勒贝格积分的新表征方式，从而推广了亨托克和麦克沙恩积分。关键贡献是强化版的莫尔斯覆盖定理，该定理确保在有限维赋范空间中，任何可测集的$λ$-莫尔斯覆盖均可被细化为有限个不相交的子族，覆盖该集合（除去一个零测集），从而使积分可被定义为这类和的极限。

ABSTRACT

This paper shows how the Lebesgue integral can be obtained as a Riemann sum and provides an extension of the Morse Covering Theorem to open sets. Let $X$ be a finite dimensional normed space; let $μ$ be a Radon measure on $X$ and let $Ω\subseteq X$ be a $μ$-measurable set. For $λ\geq1$, a $μ$-measurable set $S_λ(a)\subseteq X$ is a $λ$-Morse set with tag $a\in S_λ(a)$ if there is $r>0$ such that $B(a,r)\subseteq S_{λ}(a)\subseteq B(a,λr)$ and $S_λ(a)$ is starlike with respect to all points in the closed ball $B(a,r)$. Given a gauge $δ:Ω o(0,1]$ we say $S_λ(a)$ is $δ$-fine if $B(a,λr)\subseteq B(a,δ(a))$. If $f\geq0$ is a $μ$-measurable function on $Ω$ then $\int_Ωf dμ=F\in\mathbb{R}$ if and only if for some $λ\geq1$ and all $ε>0$ there is a gauge function $δ$ so that $|\sum_{n}f(x_{n}) μ(S(x_{n}))-F|

研究动机与目标

• 通过$λ$-莫尔斯集的覆盖族，提供一种基于黎曼和的勒贝格积分定义。
• 将莫尔斯覆盖定理推广至有限维赋范空间中的开集，确保覆盖的有限可细化性。
• 建立一种容度理论准则，以表征勒贝格可积性，该准则推广了亨托克和麦克沙恩积分。
• 证明积分可通过在近似连续点处标记的集合上的和来计算，从而改善收敛性质。

提出的方法

• 将$λ$-莫尔斯集定义为包含一个闭球且包含于其$λ$-缩放版本内的星形集，且在内球中包含一个标记点。
• 引入容度函数$δ: \Omega \to (0,1]$，以定义$δ$-精细集，从而对覆盖集的大小实现局部控制。
• 利用强化版的莫尔斯覆盖定理，证明任何$μ$-可测集$Ω$的$λ$-莫尔斯覆盖可被划分为至多$κ$个两两不相交的子族，这些子族覆盖$Ω$（除去一个$μ$-零测集）。
• 证明非负可测函数$f$的勒贝格积分等于$F$，当且仅当对任意$\varepsilon > 0$，存在一个容度函数，使得所有$δ$-精细、不相交的$λ$-莫尔斯覆盖（除去一个零测集）满足$|\sum f(x_n)\mu(S_n) - F| < \varepsilon$。
• 分别对$f^+$和$f^-$应用该结果，将表征推广至实值函数。
• 对于几乎处处连续的函数，基于连续模显式构造容度$\delta_\varepsilon$，确保黎曼和收敛于积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 勒贝格积分能否被表征为一类比区间或立方体更一般的集合上的黎曼和的极限，借助覆盖定理？
• RQ2 如何将莫尔斯覆盖定理推广至有限维赋范空间中的开集，以确保覆盖的有限可细化性？
• RQ3 何种容度条件可确保对可测函数，$λ$-莫尔斯集上的黎曼和收敛于勒贝格积分？
• RQ4 能否仅使用近似连续点来计算积分，且基于连续模构造显式容度？
• RQ5 在何种条件下，$λ$-莫尔斯集上黎曼和的收敛性可推出勒贝格可积性？

主要发现

• 在$μ$-可测集$Ω$上，非负可测函数$f$的勒贝格积分等于$F$，当且仅当对任意$\varepsilon > 0$，存在一个容度$\delta$，使得所有$δ$-精细、不相交的$λ$-莫尔斯覆盖（除去一个零测集）满足$|\sum f(x_n)\mu(S_n) - F| < \varepsilon$。
• 强化版的莫尔斯覆盖定理指出：任何中心位于集合$A$中的$λ$-莫尔斯集族，可被至多$\kappa$个两两不相交的子族的内部覆盖，其中$\kappa$依赖于$\u03bb$、维数$d$及空间的范数。
• 对于几乎处处连续的函数，基于连续模显式构造容度$\delta_\varepsilon$，确保黎曼和收敛于积分。
• 函数$|f|$的积分为有限值，当且仅当存在一个$\delta_1$-精细、不相交的$λ$-莫尔斯集序列，其标记点位于连续集内，且满足$\sum |f(x_n)|\mu(S_n) < \infty$。
• 该构造确保即使对于无界函数在无界定义域上，只要函数几乎处处连续且容度选择得当，黎曼和仍收敛于勒贝格积分。
• 通过卢津定理和勒贝格微分定理，该理论可推广至取值于巴拿赫空间的函数，如论文末尾评述所述。