[论文解读] Cox's Theorem and the Jaynesian Interpretation of Probability

Alexander Terenin, David Draper|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Philosophy and History of Science参考文献 35被引用 6

一句话总结

本文通過引入針對重複事件的一個新一致性公理，重新詮釋了考克斯定理，使該定理能更廣泛地應用於如擲公平骰子等標準機率情境。它強化了傑安斯主義對機率作為不確定性下合理推理的解釋，表明透過貝葉斯規則的機率論是不確定性下理性推論的唯一一致框架。

ABSTRACT

There are multiple proposed interpretations of probability theory: one such interpretation is true-false logic under uncertainty. Cox's Theorem is a representation theorem that states, under a certain set of axioms describing the meaning of uncertainty, that every true-false logic under uncertainty is isomorphic to conditional probability theory. This result was used by Jaynes to develop a philosophical framework in which statistical inference under uncertainty should be conducted through the use of probability, via Bayes' Rule. Unfortunately, most existing correct proofs of Cox's Theorem require restrictive assumptions: for instance, many do not apply even to the simple example of rolling a pair of fair dice. We offer a new axiomatization by replacing various technical conditions with an axiom stating that our theory must be consistent with respect to repeated events. We discuss the implications of our results, both for the philosophy of probability and for the philosophy of statistics.

研究动机与目标

• 解決現有考克斯定理證明中在基本機率範例（如擲公平骰子）上失效的限制。
• 為傑安斯主義將機率詮釋為不確定性下的合理推理，建立更廣泛且哲學上更穩固的基礎。
• 以單一、直觀的公理（基於重複事件的一致性）取代先前證明中的限制性技術假設。
• 證明當應用此新公理時，條件機率理論仍是不確定性下理性推論的唯一框架。

提出的方法

• 提出一個新公理：理論在應用於重複且相同的事件時必須保持一致。
• 以該一致性要求取代傳統技術條件（如連續性或可微性），以擴大適用範圍。
• 使用此新公理重構考克斯定理的推導，顯示可塑性之函數方程仍導出標準機率演算。
• 證明所產生的框架滿足機率公理，並唯一恢復貝葉斯規則作為更新信念的規則。
• 將修正後的框架應用於標準範例（如擲一對公平骰子），以驗證其實際一致性。
• 運用邏輯與代數推理，顯示唯一滿足新一致性條件的函數，皆與條件機率同構。

实验结果

研究问题

• RQ1 考克斯定理能否在不依賴會在簡單機率範例上失效的限制性技術假設下獲得證明？
• RQ2 對重複事件的一致性條件是否足以導出機率演算作為合理推理的唯一框架？
• RQ3 此修正的公理化如何改善貝葉斯推論在統計推理中使用的哲學依據？
• RQ4 能否利用此新一致性原則，強化將機率詮釋為合理推理的傑安斯主義觀點？
• RQ5 新框架是否仍能無矛盾地模擬如擲骰子等標準機率情境？

主要发现

• 新公理——重複事件中的一致性——取代了考克斯定理中限制性技術條件，使標準情境（如擲公平骰子）下機率論的推導成為可能。
• 修正後的框架唯一恢復機率規則與貝葉斯規則，作為不確定性下更新信念的唯一一致方法。
• 即使在先前證明失效的情境（如具有對稱結果的離散有限樣本空間）下，該證明依然有效。
• 所得理論與標準條件機率同構，確認機率演算為合理推理的唯一一致框架。
• 透過以簡單直觀的一致性條件取代複雜分析假設，強化了貝葉斯推論的哲學基礎。