[论文解读] Coxeter groups and automorphisms

Meinolf Geck, Lăcrimioara Iancu|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过仅使用 Coxeter 群中的约化表达式，提供了关于在保持生成集 $S$ 的自同构群 $\Gamma$ 作用下，固定点子群 $W^\Gamma$ 本身是 Coxeter 群这一事实的组合证明。其生成元为 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$，其中 $\bar{S}$ 是满足 $W_I$ 有限的 $\Gamma$-轨道 $I \subseteq S$ 的集合。关键贡献在于证明了 $W$ 上的长度函数限制到 $W^\Gamma$ 上成为权重函数，且无需依赖反射表示。

ABSTRACT

Let $(W,S)$ be a Coxeter system and $Γ$ be a group of automorphisms of $W$ such that $γ(S)=S$ for all $γ\in Γ$. Then it is known that the group of fixed points $W^Γ$ is again a Coxeter group with a canonically defined set of generators. The usual proofs of this fact rely on the reflection representation of $W$. Here, we give a proof which only uses the combinatorics of reduced expressions in $W$. As a by-product, this shows that the length function on $W$ restricts to a weight function on $W^Γ$.

研究动机与目标

• 提供一个纯粹组合的证明，说明在保持生成集 $S$ 的自同构群 $\Gamma$ 作用下，Coxeter 群 $W$ 的固定点子群 $W^\Gamma$ 本身是一个 Coxeter 群。
• 建立 $W$ 上的长度函数 $l$ 限制到 $W^\Gamma$ 上成为权重函数，且不依赖于反射表示。
• 证明集合 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$，其中 $\bar{S}$ 是满足 $W_I$ 有限的 $\Gamma$-轨道 $I \subseteq S$ 的集合，构成 $W^\Gamma$ 的一个规范 Coxeter 生成元集。
• 证明在 $W$ 中 $l(ww') = l(w) + l(w')$ 成立当且仅当在 $W^\Gamma$ 中 $\lambda(ww') = \lambda(w) + \lambda(w')$ 成立，其中 $\lambda$ 是 $W^\Gamma$ 上的长度函数。

提出的方法

• 使用 parabolic 子群 $W_I$ 的特殊右陪集代表元 $X_I$，将 $W^\Gamma$ 的元素分解为 $\Gamma$-轨道 $J \subseteq S$ 的最长元素 $w_J$ 的乘积。
• 对 $w \in W^\Gamma$ 的长度 $l(w)$ 进行归纳，将 $w$ 表示为 $w_{J_1} \bullet \cdots \bullet w_{J_r}$ 的形式，满足 $l(w) = \sum l(w_{J_i})$ 且 $J_i \in \bar{S}$。
• 应用 $W$ 中的交换条件，利用对所有 $\gamma \in \Gamma$ 和 $w \in W^\Gamma$ 有 $\gamma(w) = w$ 的事实，推导出 $W^\Gamma$ 中的对应条件。
• 利用 $K = I \cup J$，$I,J \in \bar{S}$ 时 $W_K^\Gamma$ 上的二面体群结构，分析 $W^\Gamma$ 中元素的乘积结构和长度行为。
• 建立等式 $w_K = w_I \bullet w_J \bullet w_I \cdots$（共 $m$ 项），其中 $m$ 为二面体群的阶，以证明 $l(w_K) = \frac{m}{2}(l(w_I) + l(w_J))$。
• 通过归纳法和约化表达式的比较，证明任一 $w \in W^\Gamma$ 的最小分解中 $w_I$ 的因子个数与分解方式无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用反射表示的情况下证明 $W^\Gamma$ 是 Coxeter 群？
• RQ2 是否 $W$ 上的长度函数 $l$ 限制到 $W^\Gamma$ 上成为权重函数？
• RQ3 集合 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ 是否构成 $W^\Gamma$ 的规范 Coxeter 生成元集？
• RQ4 $W^\Gamma$ 中 $l(ww') = l(w) + l(w')$ 成立的条件是什么？
• RQ5 在 $W$ 中约化表达式的组合结构如何控制 $W^\Gamma$ 的结构？

主要发现

• 固定点子群 $W^\Gamma$ 是一个 Coxeter 群，其生成元为 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$，其中 $\bar{S}$ 是满足 $W_I$ 有限的 $\Gamma$-轨道 $I \subseteq S$ 的集合。
• $W$ 上的长度函数 $l$ 限制到 $W^\Gamma$ 上成为权重函数，即对所有 $w,w' \in W^\Gamma$，有 $l(ww') = l(w) + l(w')$ 当且仅当 $\lambda(ww') = \lambda(w) + \lambda(w')$。
• 每个元素 $w \in W^\Gamma$ 可表示为 $w = w_{J_1} \bullet \cdots \bullet w_{J_r}$ 的形式，其中 $J_i \in \bar{S}$，且此类因子的个数 $r$ 与分解方式无关，等于 $\lambda(w)$。
• 对 $I,J \in \bar{S}$ 且 $I \neq J$，群 $W_{I \cup J}^\Gamma$ 是阶为 $2m$ 的二面体群，且对 $K = I \cup J$ 的最长元素 $w_K$ 满足 $w_K = w_I \bullet w_J \bullet w_I \cdots$，共 $m$ 个因子。
• $W^\Gamma$ 关于生成元集 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ 满足交换条件，从而确认 $(W^\Gamma, \{w_I \mid I \in \bar{S}\})$ 是一个 Coxeter 系。
• 该结果可推广至相对情形：若 $I_0 \subseteq S$ 是 $\Gamma$-不变集且 $W_{I_0}$ 有限，则 $W$ 中固定 $W_{I_0}$ 的子群 $\mathscr{W}^\Gamma$ 是一个 Coxeter 群，其生成元为 $s_J = w_{I_0 \cup J} w_{I_0}$，其中 $J \in \mathscr{S}$。