[论文解读] CR-Invariants and the Scattering Operator for Complex Manifolds with Boundary

Peter D. Hislop, Peter Perry+1 more|ArXiv.org|Sep 7, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文证明了在严格强伪凸CR流形上，CR协变微分算子与CR $Q$-曲率，作为其在边界无穷远处为CR流形的共形Kähler流形上拉普拉斯算子的散射算子的留数而自然出现。关键结果是：散射算子通过有限部分积分与留数计算，同时编码了$P_k$算子与CR $Q$-曲率，将Graham与Zworski在Poincaré-Einstein流形上的结果推广至CR几何设定。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to describe certain CR-covariant differential operators on a strictly pseudoconvex CR manifold $M$ as residues of the scattering operator for the Laplacian on an ambient complex Kähler manifold $X$ having $M$ as a `CR-infinity.' We also characterize the CR $Q$-curvature in terms of the scattering operator. Our results parallel earlier results of Graham and Zworski \cite{GZ:2003}, who showed that if $X$ is an asymptotically hyperbolic manifold carrying a Poincaré-Einstein metric, the $Q$-curvature and certain conformally covariant differential operators on the `conformal infinity' $M$ of $X$ can be recovered from the scattering operator on $X$. The results in this paper were announced in \cite{HPT:2006}.

研究动机与目标

• 通过散射算子刻画严格强伪凸CR流形上的CR协变微分算子与CR $Q$-曲率。
• 将Graham与Zworski在散射理论框架下对$Q$-曲率与共形不变微分算子的构造，推广至CR几何设定。
• 确立在边界为$M$的共形Kähler流形$X$上，散射算子通过留数与有限部分积分编码了CR $P_k$算子与$Q$-曲率。
• 通过在具有无穷远边界之共形复流形上拉普拉斯算子的渐近分析，实现CR不变量的几何实现。

提出的方法

• 构造一个维度为$m=n+1$的共形Kähler流形$X$，其边界$M$为维度$2n+1$的严格强伪凸CR流形。
• 利用定义函数$\varphi$（满足$\varphi<0$于内部）定义$X$上的Kähler度量$g_\varphi$，并在$M$附近给出其关于$\varphi$的渐近展开。
• 研究与$X$上拉普拉斯算子$\Delta_{g_\varphi}$相关的散射算子，分析其亚纯延拓与留数。
• 利用特征值问题$\Delta_{g_\varphi}u_s = s(m-s)u_s$在边界附近的解$u_s$的渐近展开，提取留数。
• 计算$|du_s|^2 \omega^m$与$u_s^2 \omega^m$的有限部分积分，以分离出$x^{2m-2s}$项的贡献，其中$x = -\varphi$。
• 通过$u_s^2$展开中$x^{2m-2s}$项的系数，将散射算子的留数与CR $Q$-曲率联系起来，识别其为$-m c_m \int_M Q^{CR}_\theta \psi$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从共形Kähler流形$X$上拉普拉斯算子的散射算子中恢复严格强伪凸CR流形$M$上的CR协变微分算子$P_k$？
• RQ2 CR $Q$-曲率能否在复几何设定中被表征为散射算子的留数？
• RQ3 散射算子在$X$上在多大程度上编码了CR边界$M$的共形不变量？
• RQ4 解$\Delta_{g_\varphi}u_s = s(m-s)u_s$的渐近行为如何在$M$上产生几何不变量？

主要发现

• 阶数为$2k$的CR协变微分算子$P_k$作为共形Kähler流形$X$上拉普拉斯算子的散射算子的留数而自然出现。
• CR $Q$-曲率$Q^{CR}_\theta$通过有限部分积分$\int_X u_s^2 \omega^m$的留数被恢复，具体为$-m c_m \int_M Q^{CR}_\theta \psi$。
• 散射算子在$s=m$处的留数提取了$u_s^2$展开中$x^{2m-2s}$项的贡献，其对积分的贡献为$m/2 \cdot L$，其中$L$为渐近体积系数。
• $u_s^2$展开中$2x^{2m-2s}F_m(s)$项的贡献为$-m c_m \int_M Q^{CR}_\theta \psi$，直接建立了散射留数与CR $Q$-曲率之间的联系。
• 在有限部分极限$s \to m$下，$|du_s|^2$项对散射积分的贡献趋于零，确保留数完全由$u_s^2$项决定。
• 由于导数的$(m-s)$阶衰减，$\partial_y u_s$相关的边界项在极限$s \to m$下趋于零，从而确认了留数计算的有限性与正确性。