[论文解读] CR-manifolds of dimension 5: A Lie algebra approach

Gregor Fels, Wilhelm Kaup|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文利用李代数方法研究五维实解析CR-流形，其Levi形式退化且CR-自同构群传递。研究结果表明，所有此类局部齐次、2-非退化的例子在局部上CR-等价于三维时空中未来光锥的管形，且通过实射影空间中的齐次区域对全局CR-非等价模型进行了分类。

ABSTRACT

We study real-analytic Levi degenerate hypersurfaces M in complex manifolds of dimension 3, for which the CR-automorphism group Aut(M) is a real Lie group acting transitively on M. We provide large classes of examples for such M, compute the corresponding groups Aut(M) and determine the maximal subsets of M that cannot be separated by global continuous CR-functions. It turns out that all our examples, although partly arising in different contexts, are locally CR-equivalent to the tube over the future light cone in 3-dimensional space-time.

研究动机与目标

• 对具有退化Levi形式且CR-自同构群传递的五维实解析CR-流形进行分类。
• 确定此类流形的CR-自同构群及其李代数的结构。
• 识别流形中无法被全局连续CR-函数分离的最大子集。
• 证明所有2-非退化的局部齐次例子在局部上等价于三维时空中未来光锥的管形。
• 构造局部等价于该模型管形流形的全局、两两CR-非等价模型。

提出的方法

• 利用无穷小CR-自同构的李代数分析五维CR-流形的局部与全局CR-结构。
• 应用[6]中的部分标准型对原点处的超曲面芽进行分类，重点关注(A,ii,2)情形。
• 采用部分Cayley变换将CR-流形实现为光锥管形中的区域。
• 利用辛代数与正交代数之间的同构关系（sp(2,R) ≅ so(2,3)）将管形构造推广至高维。
• 构造从局部模型到管形流形T的显式全纯微分同构，证明CR-等价性。
• 通过涉及复矩阵与Hermite正定性条件的矩阵方程分析流形上的全纯向量场。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有退化Levi形式的五维CR-流形允许传递的CR-自同构群？
• RQ2 如何计算此类流形的CR-自同构群及其李代数？
• RQ3 C^3中2-非退化、均匀Levi退化的超曲面的局部CR-结构是什么？
• RQ4 所有此类局部齐次、2-非退化的CR-流形是否在局部上等价于未来光锥的管形？
• RQ5 CR-流形中无法被全局连续CR-函数分离的最大子集是什么？

主要发现

• 所有2-非退化的局部齐次五维CR-流形在局部上CR-等价于三维时空中未来光锥的管形T。
• 对于族(M_t)，其无穷小CR-自同构的李代数随t变化：t < 0时为sl(2,R) × su(2)，t = 0时为非半单代数，t > 0时为sl(2,C)。
• 光锥上的管形T是所有此类局部齐齐次CR-流形的模型，类似于Levi非退化情形下的球面。
• 存在全局CR-非等价的模型，它们均局部等价于T，表明局部等价性不蕴含全局等价性。
• 显式全纯微分同构（如部分Cayley变换(7.4)）将某些区域的CR-结构实现为T的开子集。
• 光锥在(n+2)维时空上的管形上的全纯向量场同构于so(2,n+2)，证实其全局齐次性。