[论文解读] Craig Interpolation and Access Interpolation with Clausal First-Order Tableaux

Christoph Wernhard|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Advanced Database Systems and Queries参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于命题型一阶表的Craig-Lyndon插值与访问插值的计算基础，支持与现代定理证明器的高效集成。该方法基于Herbrand定理，提出了一种与演算无关的提升方法，并展示了如何通过预处理或表构建过程强制实施访问插值的结构约束，从而支持自顶向下与自底向上的定理证明方法，具备实际实现潜力。

ABSTRACT

We develop foundations for computing Craig interpolants and similar intermediates of two given formulas with first-order theorem provers that construct clausal tableaux. Provers that can be understood in this way include efficient machine-oriented systems based on calculi of two families: goal-oriented like model elimination and the connection method, and bottom-up like the hyper tableau calculus. The presented method for Craig-Lyndon interpolation involves a lifting step where terms are replaced by quantified variables, similar as known for resolution-based interpolation, but applied to a differently characterized ground formula and proven correct more abstractly on the basis of Herbrand's theorem, independently of a particular calculus. Access interpolation is a recent form of interpolation for database query reformulation that applies to first-order formulas with relativized quantifiers and constrains the quantification patterns of predicate occurrences. It has been previously investigated in the framework of Smullyan's non-clausal tableaux. Here, in essence, we simulate these with the more machine-oriented clausal tableaux through structural constraints that can be ensured either directly by bottom-up tableau construction methods or, for closed clausal tableaux constructed with arbitrary calculi, by postprocessing with restructuring transformations.

研究动机与目标

• 建立计算Craig-Lyndon插值的理论与实践基础，使用命题型一阶表，适用于广泛的现代定理证明器。
• 将该框架扩展至访问插值，一种与带受限量词的数据库查询重写相关的插值形式。
• 使高效、面向机器的定理证明系统——尤其是基于命题型表的系统——能够用于插值计算，而无需修改其核心算法。
• 证明插值提升可通过Herbrand定理以抽象方式完成，独立于特定演算，从而统一不同证明系统中插值的处理方式。

提出的方法

• 本文引入一种提升变换，将命题公式中的项替换为量化的变量，将命题插值转换为一阶插值，其合理性基于Herbrand定理。
• 证明该提升方法在任意底层演算下对Craig-Lyndon插值均具有可靠性和完备性，前提是表是闭合且不可满足的。
• 对于访问插值，该方法通过在表中强制实施结构约束，以保持量词作用域模式，确保插值中仅出现目标语言中的符号。
• 区分了‘局部’推理（对单个公式进行预处理）与‘非局部’推理（在表中联合处理），从而实现模块化的插值计算。
• 对于自底向上的表（如超表），结构约束可在构建过程中强制实施；对于其他演算，则可通过事后重构步骤将任意闭合表转换为有效表。
• 该方法具有通用性，适用于自顶向下（如模型消去法、连接法）与自底向上的（如超表）定理证明方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过基于Herbrand的提升方法，在不依赖底层演算的前提下，利用命题型表高效计算Craig-Lyndon插值？
• RQ2 如何在命题型表框架内支持访问插值——该插值要求对量词作用域施加约束？
• RQ3 在基于表的插值中，‘局部’与‘非局部’推理的作用是什么？这与基于归结的方法有何不同？
• RQ4 访问插值的结构约束是否可在表构建过程中强制实施，还是仅能通过昂贵的后处理实现？
• RQ5 由于命题型表保留了子句结构，是否使其在插值计算中相对于归结法具有根本性优势？

主要发现

• 所提出的Craig-Lyndon插值提升方法具有可靠性和完备性，可统一应用于任何命题型表定理证明器，而无需修改其内部逻辑。
• 该方法使任何能够构建闭合命题型表的的一阶定理证明器均可用于插值计算，同时可复用现有优化与数据结构。
• 对于访问插值，结构约束可在自底向上的方法（如超表演算）中原生强制实施，避免了昂贵的重构操作。
• 当使用无法自然强制结构约束的演算时，可通过事后转换步骤重构表以满足要求，尽管这可能涉及子表的复制。
• 该框架支持自顶向下（目标导向）与自底向上（数据导向）的定理证明方法，显著扩展了插值技术的应用范围。
• 基于自顶向下证明器（PIE/CM）的Craig-Lyndon插值首个实现已可运行，证明了该方法的实际可行性。