[论文解读] Cram\'{e}r's moderate deviations for martingales with applications

Xiequan Fan, Qi-Man Shao|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2022

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 25被引用 23

一句话总结

本文在条件 Bernstein 条件和预测二次变差的尾部集中条件之下，建立了归一化鞅 $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ 与标准化鞅 $X_n / \sqrt{\mathbb{E}X_n^2}$ 的 Cramér 中偏差展开。关键结果表明，当 $x = o(n^{1/6})$ 时，尾部概率 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ 渐近等价于标准正态尾部 $1 - \Phi(x)$，将经典 Cramér 结果推广至更广泛适用的鞅设置，涵盖如象随机游走和自回归过程等模型。

ABSTRACT

Let $(\xi_i,\mathcal{F}_i)_{i\geq1}$ be a sequence of martingale differences. Set $X_n=\sum_{i=1}^n \xi_i $ and $ \langle X angle_n=\sum_{i=1}^n \mathbf{E}(\xi_i^2|\mathcal{F}_{i-1}).$ We prove Cram\'er's moderate deviation expansions for $\displaystyle \mathbf{P}(X_n/\sqrt{\langle X angle_n} \geq x)$ and $\displaystyle \mathbf{P}(X_n/\sqrt{ \mathbf{E}X_n^2} \geq x)$ as $n o\infty.$ Our results extend the classical Cram\'{e}r result to the cases of normalized martingales $X_n/\sqrt{\langle X angle_n}$ and standardized martingales $X_n/\sqrt{ \mathbf{E}X_n^2}$, with martingale differences satisfying the conditional Bernstein condition. Applications to elephant random walks and autoregressive processes are also discussed.

研究动机与目标

• 将经典 Cramér 对 i.i.d. 和的中偏差结果推广至归一化鞅 $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ 的情形，其中 $\langle X \rangle_n$ 为预测二次变差。
• 建立尾部概率 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ 的正态近似中相对误差的精确渐近展开，改进对标准化鞅的先前结果。
• 为依赖性与非 i.i.d. 过程（如象随机游走与自回归过程）提供适用框架，其中经典 Lindeberg 条件或条件矩条件不成立。
• 以更自然的尾部集中条件 (1.9) 取代限制性较强的统一有界性条件 (1.3)，提升适用范围。
• 推导时间序列模型中估计量的中偏差原理与渐近置信区间，如 AR(1) 过程中的自回归参数。

提出的方法

• 引入条件 (A1) 与 (A2)：(A1) 为鞅差分高阶条件矩的条件 Bernstein 条件；(A2) 为预测二次变差 $\langle X \rangle_n$ 与其均值偏离的次高斯尾部界。
• 运用鞅中心极限定理技巧与指数矩界，控制归一化鞅 $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ 的累积量生成函数。
• 应用 Gärtner-Ellis 定理的一个版本与指数倾斜，推导尾部概率对数的中偏差展开。
• 建立关键不等式（定理 2.1），将 $\left| \ln \mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x) - \ln(1 - \Phi(x)) \right|$ 有界于包含 $x^3(\epsilon_n + \delta_n)$ 与 $\delta_n |\ln \delta_n| + \epsilon_n |\ln \epsilon_n|$ 的项。
• 利用展开式推导出当 $x = o(n^{1/6})$ 时，$\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x) \sim 1 - \Phi(x)$，将经典 Cramér 结果推广至鞅情形。
• 将结果应用于两个具体模型：具有长程依赖的象随机游走与 AR(1) 过程，证明在新条件下尾部近似成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cramér 的中偏差展开（已知于 i.i.d. 和）能否在更弱的矩与集中条件之下推广至归一化鞅 $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$？
• RQ2 对条件矩与二次变差集中性，何种条件足以保证尾部概率 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ 与标准正态尾部 $1 - \Phi(x)$ 保持渐近等价？
• RQ3 与经典 i.i.d. 情形相比，中偏差展开的有效范围如何？能否扩展至 $x = o(n^{1/6})$？
• RQ4 结果能否应用于非 i.i.d. 过程（如象随机游走与自回归过程），其中经典 Lindeberg 条件不成立？
• RQ5 对统计推断有何影响，如在时间序列模型中构造参数估计量的置信区间？

主要发现

• 在条件 (A1) 与 (A2) 下，$\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ 的正态近似中相对误差被有界于 $c\left( x^3(\epsilon_n + \delta_n) + (1+x)(\delta_n |\ln \delta_n| + \epsilon_n |\ln \epsilon_n|) \right)$，其中 $\epsilon_n, \delta_n \to 0$ 当 $n \to \infty$。
• 当 $x = o(n^{1/6})$ 时，尾部概率满足 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x) = 1 + o(1)$，与 i.i.d. 序列的经典 Cramér 结果一致。
• 展开式 (1.10) 不仅适用于归一化鞅，也适用于标准化鞅 $S_n / \sqrt{n\sigma^2}$，在相同条件下成立，扩展了先前结果。
• 结果应用于象随机游走，验证了条件 Bernstein 条件与二次变差的集中性，且当 $x = o(n^{1/6})$ 时中偏差展开成立。
• 对于 AR(1) 过程，该方法导出最小二乘估计量 $\hat{\theta}_n$ 的中偏差原理，并构造了渐近覆盖为 $1 - \kappa_n$ 的置信区间 $[A_n, B_n]$。
• 自回归参数 $\theta$ 的渐近置信区间 $[A_n, B_n]$ 的宽度为 $o(n^{1/6})$，与中偏差尺度一致。