[论文解读] Cramer-Rao Bound for Sparse Signals Fitting the Low-Rank Model with Small Number of Parameters

Mahdi Shaghaghi, Sergiy A. Vorobyov|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 35被引用 17

一句话总结

本文推导了在参数数量较少的低秩信号模型中，特别是对于非必然在有限基下稀疏的稀疏信号，参数估计的Cramér-Rao界（CRB）。研究表明，无偏估计且方差有限要求的压缩样本数必须多于信号源数量；该结论通过DOA估计的实例得到验证，显示CRB随压缩而增加（即Ny减少）。

ABSTRACT

In this paper, we consider signals with a low-rank covariance matrix which reside in a low-dimensional subspace and can be written in terms of a finite (small) number of parameters. Although such signals do not necessarily have a sparse representation in a finite basis, they possess a sparse structure which makes it possible to recover the signal from compressed measurements. We study the statistical performance bound for parameter estimation in the low-rank signal model from compressed measurements. Specifically, we derive the Cramer-Rao bound (CRB) for a generic low-rank model and we show that the number of compressed samples needs to be larger than the number of sources for the existence of an unbiased estimator with finite estimation variance. We further consider the applications to direction-of-arrival (DOA) and spectral estimation which fit into the low-rank signal model. We also investigate the effect of compression on the CRB by considering numerical examples of the DOA estimation scenario, and show how the CRB increases by increasing the compression or equivalently reducing the number of compressed samples.

研究动机与目标

• 建立少数未知参数的低秩信号模型中参数估计性能界限。
• 在压缩感知条件下，为这类模型推导闭式Cramér-Rao界（CRB）。
• 确定实现无偏估计且方差有限所需的最少压缩样本数。
• 将推导出的CRB应用于波束形成方向（DOA）和谱估计问题。
• 通过数值示例分析压缩对估计精度的影响。

提出的方法

• 推导具有参数结构的低秩信号模型在压缩测量下的对数似然函数。
• 通过关于幅度实部/虚部及未知参数Ω的对数似然函数导数，计算Fisher信息矩阵（FIM）。
• 利用矩阵恒等式与Schur补，以闭式表达CRB，尤其针对参数向量Ω。
• 分析FIM的奇异情况，以确定何时无偏估计且方差有限成为不可能。
• 将该框架应用于使用导向矢量的DOA估计，推导出D(t)与CRB的简化表达式。
• 通过均匀线阵的数值仿真，展示在不同压缩样本数（Ny）下CRB的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有少量未知参数的一般低秩信号模型中，参数估计的Cramér-Rao界（CRB）是什么？
• RQ2 实现无偏估计且方差有限所需的最少压缩样本数（Ny）是多少？
• RQ3 在DOA估计中，压缩（即Ny减少）如何影响CRB？
• RQ4 对于参数化低秩模型，推导出的CRB能否以闭式表达？
• RQ5 当Ny ≤ K（信号源数）时，与Ny > K相比，CRB的行为如何？

主要发现

• 推导出低秩模型中参数估计的Cramér-Rao界（CRB），尤其针对参数向量Ω，且以闭式表达。
• 当压缩样本数Ny ≤ K（信号源数）时，FIM奇异，无偏估计且方差有限成为不可能。
• 当Ny > K时，FIM非奇异，CRB为有限值，表明存在无偏估计且方差有限的估计器。
• 数值结果表明，DOA估计的CRB随Ny减小而增加，且在Ny ≤ K时出现急剧上升。
• 有限方差无偏估计所需的最少压缩样本数为Ny = K + 1，如在K = 11个源的DOA示例中所示。