[论文解读] Creating Semiflows on Simplicial Complexes from Combinatorial Vector Fields

Marian Mrożek, Thomas Wanner|arXiv (Cornell University)|May 23, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 69被引用 14

一句话总结

本文建立了单纯复形上的组合向量场与其基础多面体上的连续时间半流之间的形式对应关系。通过使用重心坐标构造多面体的规范剖分，并定义一个尊重组合动力学的半流，作者证明了每个组合向量场都会诱导出一个具有相同Conley-Morse图和孤立不变集的半流，从而在保持完整拓扑保真度的前提下，将离散的组合动力学嵌入到连续动力系统框架中。

ABSTRACT

Combinatorial vector fields on simplicial complexes as introduced by Robin Forman have found numerous and varied applications in recent years. Yet, their relationship to classical dynamical systems has been less clear. In recent work it was shown that for every combinatorial vector field on a finite simplicial complex one can construct a multivalued discrete-time dynamical system on the underlying polytope X which exhibits the same dynamics as the combinatorial flow in the sense of Conley index theory. However, Forman's original description of combinatorial flows appears to have been motivated more directly by the concept of flows, i.e., continuous-time dynamical systems. In this paper, it is shown that one can construct a semiflow on X which exhibits the same dynamics as the underlying combinatorial vector field. The equivalence of the dynamical behavior is established in the sense of Conley-Morse graphs and uses a tiling of the topological space X which makes it possible to directly construct isolating blocks for all involved isolated invariant sets based purely on the combinatorial information.

研究动机与目标

• 建立组合向量场与单纯复形上连续半流之间的形式动力等价性。
• 解决长期以来关于组合动力学是否能严格嵌入经典连续时间动力系统的问题。
• 提供一种从组合向量场构造半流的构造性方法，以保持孤立不变集和Conley-Morse图等关键拓扑不变量。
• 通过证明其在细分下对组合多向量场的Morse分解保持不变，扩展其适用性。

提出的方法

• 使用重心坐标构造多面体的规范单元分解，将空间划分为对应于单纯形的流块。
• 通过在每个块上定义分段常数向量场来定义半流，其过渡时间由到单纯形链中下一个面的距离决定。
• 在块边界上强制满足横截性条件，以确保半流是可接受的，并且仅基于组合数据即可构造隔离块。
• 引入强可接受性的概念以控制箭头块内的流行为，确保与Morse分解的一致性。
• 以Conley-Morse图为核心不变量，用于比较组合与连续设置下的动力学。
• 利用局部存在性定理和多面体上的紧致性论证，证明半流的连续性和全局存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有限单纯复形上的组合向量场是否都能在其中心多面体上实现为连续时间半流的动力？
• RQ2 这样的半流是否保持原始组合向量场的Conley-Morse图？
• RQ3 是否能仅通过组合信息从半流中恢复孤立不变集及其Conley指标？
• RQ4 这种对应关系在细分下是否稳健，特别是对于组合多向量场等广义结构？
• RQ5 该构造是否可实现为典范且连续的，以确保半流在全局上定义良好且行为良好？

主要发现

• 对于单纯复形上的每个组合向量场，其在基础多面体上均存在一个保持Conley-Morse图的连续时间半流。
• 该半流通过使用重心坐标对多面体进行规范剖分构造，确保了几何与拓扑的一致性。
• 半流中的所有孤立不变集及其Conley指标均与原始组合向量场完全匹配。
• 该半流是强可接受的，即其在块边界上满足横截性和流行为约束，从而可实现隔离块的严格构造。
• 该构造在 R+₀ 上连续且全局定义，解对所有时间存在，并满足半流性质 ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x)。
• 通过细分，该结果可推广至组合多向量场，因为其Morse分解在该变换下保持不变。