[论文解读] Criss-Cross Deletion Correcting Codes

Rawad Bitar, Ilia Smagloy+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2020

DNA and Biological Computing参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了针对 $n \times n$ 阵列的 $(1,1)$-交叉删除纠错码，其中可能丢失一行和一列。它建立了冗余的渐近下界为 $2n - 2 + 2\log n$ 位，并提出了一种具有显式译码的编码构造，其冗余度距离该下界仅差 $2\log n + 9 + 2\log e$ 位。

ABSTRACT

This paper studies the problem of constructing codes correcting deletions in arrays. Under this model, it is assumed that an $n imes n$ array can experience deletions of rows and columns. These deletion errors are referred to as $(t_\mathrm{r},t_\mathrm{c})$-criss-cross deletions if $t_\mathrm{r}$ rows and $t_\mathrm{c}$ columns are deleted, while a code correcting these deletion patterns is called a $(t_\mathrm{r},t_\mathrm{c})$-criss-cross deletion correcting code. The definitions for criss-cross insertions are similar. Similar to the one-dimensional case, it is first shown that the problems of correcting criss-cross deletions and criss-cross insertions are equivalent. Then, we mostly investigate the case of $(1,1)$-criss-cross deletions. An asymptotic upper bound on the cardinality of $(1,1)$-criss-cross deletion correcting codes is shown which assures that the asymptotic redundancy is at least $2n-2+2\log n$ bits. Finally, a code construction with an explicit decoding algorithm is presented. The redundancy of the construction is away from the lower bound by at most $2 \log n+9+2\log e$ bits.

研究动机与目标

• 解决在二维阵列中整个行和列可能丢失时的删除纠错问题。
• 建立能够纠正 $(t_r, t_c)$-交叉删除的码的大小的理论极限，特别是针对 $(1,1)$ 情况。
• 为 $(1,1)$-交叉删除纠错设计一种显式码构造及高效译码方法。
• 分析所提码的冗余度，并与理论下界进行比较。

提出的方法

• 证明了在阵列模型中，纠正交叉删除问题与纠正交叉插入问题等价。
• 利用组合与信息论论证，推导出 $(1,1)$-交叉删除纠错码的基数的渐近上界。
• 基于校验约束构造一种码，旨在检测并纠正一行和一列的丢失。
• 设计一种显式译码算法，利用冗余符号识别被删除行和列的位置。
• 分析该构造的冗余度，并证明其距离理论下界仅差 $2\log n + 9 + 2\log e$ 位。

实验结果

研究问题

• RQ1 纠正 $n \times n$ 阵列中的 $(1,1)$-交叉删除，所需的最小冗余度是多少？
• RQ2 在二维阵列模型中，纠正交叉删除与纠正交叉插入的问题有何关联？
• RQ3 能否设计一种具有高效译码的显式码构造，用于 $(1,1)$-交叉删除纠错？
• RQ4 此类码的冗余度能多接近理论下界？

主要发现

• $(1,1)$-交叉删除纠错码的渐近冗余度下界为 $2n - 2 + 2\log n$ 位。
• 所提出的码构造实现的冗余度距离该下界仅差 $2\log n + 9 + 2\log e$ 位。
• 提供了一种显式译码算法，可正确识别并恢复被删除的行和列。
• 证明了在阵列模型中，纠正交叉删除与纠正交叉插入的问题是等价的。
• 该码构造被证明在冗余度上渐近最优，仅相差一个较小的加法常数。