[论文解读] Criteria for dynamics of one-dimensional continuous time Markov chains with applications

Chuang Xu, Mads Christian Hansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2020

Gene Regulatory Network Analysis被引用 4

一句话总结

本文为具有无界跳跃大小和多项式转移率的连续时间马尔可夫链在非负整数状态空间上的关键动力学性质（如爆炸性、常返性与遍历性）建立了可计算的阈值准则。研究提供了平稳分布与拟平稳分布指数遍历性的显式条件，并将其应用于出生-死亡过程之外的随机反应网络与基因表达模型。

ABSTRACT

This paper studies the dynamics of continuous time Markov chains with possibly unbounded jump sizes on the non-negative integers with polynomial transition rate functions. Such stochastic processes are abundant in applications, in particular in biology. We provide threshold criteria in terms of easily computable parameters for various dynamical properties such as explosivity, recurrence, transience, certain absorption, positive/null recurrence, implosivity, and existence and non-existence of moments of hitting times. In particular, simple sufficient conditions for exponential ergodicity of stationary distributions and quasi-stationary distributions are obtained, and the few gap cases are identified and well-illustrated by examples. Subtle differences in conditions for different dynamical properties are revealed in terms of examples. Finally, we apply our results to stochastic reaction networks, an extended class of branching processes, a general bursty single-cell stochastic gene expression model, and population processes, none of which are birth-death processes.

研究动机与目标

• 为具有多项式转移率和无界跳跃的连续时间马尔可夫链中的基本动力学行为建立易于计算的判据。
• 解决在非出生-死亡过程中，如爆炸性、常返性与拟平稳性等性质缺乏通用判据的问题。
• 识别复杂随机系统中平稳分布与拟平稳分布指数遍历性的条件。
• 通过示例阐明理论上的细微差异，弥合对动力学性质之间差异理解的理论空白。
• 将该框架应用于系统生物学中的真实模型，包括基因表达与种群过程。

提出的方法

• 基于多项式转移率函数的次数与系数推导出阈值条件，以分类动力学行为。
• 使用类李雅普诺夫泛函与矩生成函数技术分析 hitting 时间矩与遍历性。
• 应用谱分析与路径分析，以区分正常返与零常返，以及内爆性。
• 引入对‘间隙情形’的系统分类，当标准判据失效时，通过反例澄清边界条件。
• 采用比较与耦合论证，将结果推广至非线性、非出生-死亡过程。
• 通过随机反应网络与爆发式基因表达模型中的显式示例验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有无界跳跃的连续时间马尔可夫链中，多项式转移率需满足何种条件，才能保证平稳分布与拟平稳分布的指数遍历性？
• RQ2 如何利用可计算参数区分此类链中的爆炸性、瞬态与常返行为？
• RQ3 这些过程中 hitting 时间矩存在性与非存在性的精确阈值是什么？
• RQ4 不同动力学性质（如常返性与内爆性）的条件有何差异？这些差异如何通过示例阐明？
• RQ5 所推导的判据如何应用于扩展的分支过程与爆发式单细胞基因表达模型？

主要发现

• 基于转移率多项式的次数与增长速率，推导出平稳分布与拟平稳分布指数遍历性的简单充分条件。
• 爆炸性、常返性与瞬态性的阈值准则以多项式率的主导系数与次数表示。
• hitting 时间矩存在性的条件已明确刻画，其显式依赖于多项式次数与主导系数的符号。
• 论文识别并说明了‘间隙情形’，即标准判据失效的情况，通过反例澄清了动力学行为之间的细微差异。
• 该框架成功扩展至非出生-死亡模型，包括随机反应网络与爆发式基因表达过程，其中先前方法不适用。
• 证明了正常返/零常返与内爆性依赖于不同的参数区域，且推导出的条件在分析上具有清晰的分离性。