[论文解读] Criteria of positivity for linear maps constructed from permutation pairs

Haili Zhao, Jinchuan Hou|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文为从排列对构造的 $M_n$ 上的 $D$-型线性映射提出了一个新的正性判别准则。引入了排列对的'性质 (C)'，并证明若一对排列满足此性质，则其对应的映射为正。关键结果为：当排列是单个循环的幂时，提供了简单且可验证的正性条件，从而在量子信息理论中实现了新正映射的构造。

ABSTRACT

In this paper, we show that a $D$-type map $Φ_D:M_n ightarrow M_n$ with $D=(n-2)I_n+P_{π_1}+P_{π_2}$ induced by a pair $\{π_1,π_2\}$ of permutations of $(1,2,..., n)$ is positive if $\{π_1,π_2\}$ has property (C). The property (C) is characterized for $\{π_1,π_2\}$, and an easy criterion is given for the case that $π_1=π^p$ and $π_2=π^q$, where $π$ is the permutation defined by $π(i)=i+1$ mod $n$ and $1\leq p

研究动机与目标

• 为从 $M_n$ 中排列对构造的 $D$-型线性映射建立正性判别准则。
• 为排列对定义并表征一种新性质，称为性质 (C)，该性质可确保其对应 $D$-型映射的正性。
• 为当排列是单个循环排列 $\pi(i) = i+1 \mod n$ 的幂时，提供一个实用的正性判别准则。
• 将已知的关于单个排列生成的 $D$-型映射正性的结果，推广到由两个或更多排列构造的映射。
• 通过构造新的正映射以用于纠缠检测和纠缠判别式设计，为量子信息理论做出贡献。

提出的方法

• 为排列对 $\{\pi_1, \pi_2\}$ 引入一种新的组合性质，称为'性质 (C)'，该性质是其对应 $D$-型映射为正的充要条件。
• 建立两个关键不等式（引理 2.1 和 2.2），涉及在乘积约束下的对称有理函数，用于分析正性条件。
• 利用排列的循环分解，分析相关排列矩阵 $P_{\pi_1}, P_{\pi_2}$ 的结构及其在 $D$-矩阵对角校正上的作用。
• 证明若 $\{\pi_1, \pi_2\}$ 具有性质 (C)，则 $D = (n-2)I_n + P_{\pi_1} + P_{\pi_2}$ 对应的 $D$-型映射 $\Phi_D$ 为正。
• 将该判别准则应用于 $\pi_1 = \pi^p$, $\pi_2 = \pi^q$ 的情形，推导出 $p, q, n$ 的显式数论条件以保证正性。
• 通过在单纯形上求有理函数 $f(x_1,\dots,x_n)$ 的上确界来检验正性，将问题简化为验证 $\sup f \leq 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于排列对 $\{\pi_1, \pi_2\}$，$D$-型映射 $\Phi_D$（其中 $D = (n-2)I_n + P_{\pi_1} + P_{\pi_2}$）为正？
• RQ2 两个排列 $\pi^p$ 和 $\pi^q$（单个循环的幂）在何种条件下可生成正的 $D$-型映射？
• RQ3 能否通过组合或数论准则来判定由排列对构造的 $D$-型映射的正性？
• RQ4 性质 (C) 是否是此类映射正性的必要条件？是否存在不满足性质 (C) 但仍是正映射的情况？
• RQ5 如何将结果特化到 $n = 2^N$ 的情形，该情形在量子信息中具有特殊意义？

主要发现

• 当且仅当排列对 $\{\pi_1, \pi_2\}$ 具有性质 (C) 时，其对应的 $D$-型映射 $\Phi_D$（其中 $D = (n-2)I_n + P_{\pi_1} + P_{\pi_2}$）为正。
• 当 $\pi$ 为循环移位 $\pi(i) = i+1 \mod n$ 时，若 $\{\pi^p, \pi^q\}$ 满足性质 (C)，则 $D$-型映射 $\Phi_{n,p,q}$ 为正，该条件在 $q-p$ 为奇数时成立，或当 $p$ 与 $q-p$ 满足特定可除性条件时也成立。
• 当 $n = 2^N$ 且 $N \geq 2$ 时，若 $q-p$ 为奇数，或 $q-p = 2^b$ 且 $p = d2^b$（其中 $1 \leq d \leq 2^{N-b}-1$），或更一般地，若 $q-p = 2^b r$（$r$ 为奇数）且 $p = 2^b(2^{N-b} - d r)$（其中 $1 \leq d \leq (2^{N-b}-1)/r$），则映射 $\Phi_{n,p,q}$ 为正。
• 函数 $f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{2x_i + x_{i+1} + x_{i-1}}$ 在标准单纯形上的上确界在 $n=4$ 时恰好为 1，这证实了 $\Phi_{4,1,3}$ 的正性，尽管 $\{\pi, \pi^3\}$ 不满足性质 (C)。
• 性质 (C) 是正性的充分条件但非必要条件，如反例 $n=4$, $p=1$, $q=3$ 所示：该映射为正，但排列对不具有性质 (C)。
• 本文为 $n=5,7,8,16$ 提供了显式例子，展示了哪些 $(p,q)$ 对产生正映射，为在量子信息应用中构造此类映射提供了实用指南。