[论文解读] Criterion for the $L^{p}$-dissipativity of second order differential operators with complex coefficients

Alberto Cialdea, Vladimir Maz’ya|ArXiv.org|Dec 11, 2004

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 4

一句话总结

本文建立了复系数二阶椭圆微分算子在 $L^p$-耗散性方面的必要且充分的代数条件。关键结果是：当系数矩阵 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 的虚部对称时，对所有 $\xi \in \mathbb{R}^n$，条件 $|p-2|\,|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle| \leq 2\sqrt{p-1}\,\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle$ 完全刻画了 $L^p$-耗散性；当虚部不对称时，该条件则完全刻画了 $L^p$-拟耗散性（以及相应半群的拟压缩性），即使存在低阶项也成立。

ABSTRACT

We prove that the algebraic condition $|p-2| |< {\mathscr Im}{\mathscr A}ξ,ξ>| \leq 2 \sqrt{p-1} < {\mathscr Re}{\mathscr A}ξ,ξ>$ (for any $ξ\in\mathbb{R}^{n}$) is necessary and sufficient for the $L^{p}$-dissipativity of the Dirichlet problem for the differential operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)$, where ${\mathscr A}$ is a matrix whose entries are complex measures and whose imaginary part is symmetric. This result is new even for smooth coefficients, when it implies a criterion for the $L^{p}$-contractivity of the corresponding semigroup. We consider also the operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)+{\bf b} abla +a$, where the coefficients are smooth and ${\mathscr Im}{\mathscr A}$ may be not symmetric. We show that the previous algebraic condition is necessary and sufficient for the $L^{p}$-quasi-dissipativity of this operator. The same condition is necessary and sufficient for the $L^{p}$-quasi-contractivity of the corresponding semigroup. We give a necessary and sufficient condition for the $L^{p}$-dissipativity in $\mathbb{R}^{n}$ of the operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)+{\bf b} abla +a$ with constant coefficients.

研究动机与目标

• 建立第二类椭圆微分算子在复系数下，其狄利克雷问题 $L^p$-耗散性的必要且充分的代数条件。
• 将该准则推广至含低阶项的算子，特别是当系数矩阵虚部不对称时的情形。
• 在光滑系数的一般情况下，刻画相关半群的 $L^p$-拟耗散性与拟压缩性。
• 为 $\mathbb{R}^n$ 上的常系数算子提供完整的刻画。

提出的方法

• 通过分析关联的二次型 $\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(u,v) = \int_\Omega \langle\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla u, \nabla v\rangle\,dx$，推导 $L^p$-耗散性条件。
• 运用谱论与变分方法，将算子的耗散性与系数矩阵实部的强制性及虚部的有界性联系起来。
• 应用 $C_0$-半群理论与对偶性，将算子及其共轭算子的 $L^p$-耗散性与压缩或拟压缩半群的生成性联系起来。
• 引入 $L^p$-拟耗散性的概念，通过加上一个实常数来处理 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 虚部不对称的情形。
• 将含低阶项的一般情形约化为仅涉及 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 对称部分的等价问题，以应用主准则。
• 通过 $L^p$ 空间中密度性与闭性论证，建立形式的 $L^p$-耗散性与算子的 $L^p$-耗散性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 系数矩阵 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 的何种代数条件可保证复系数二阶椭圆微分算子狄利克雷问题的 $L^p$-耗散性？
• RQ2 当 $\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 不对称时，该条件如何变化？此时适用何种替代的耗散性概念？
• RQ3 该准则能否推广至含低阶项的算子？在何种条件下，其对应的半群为 $L^p$-拟压缩？
• RQ4 该半群为 $L^p$-拟压缩的 $p$ 的精确范围为何？
• RQ5 是否存在 $\mathbb{R}^n$ 上常系数算子 $L^p$-耗散性的刻画？

主要发现

• 当 $\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 对称时，对所有 $\xi \in \mathbb{R}^n$，条件 $|p-2|\,|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle| \leq 2\sqrt{p-1}\,\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle$ 是狄利克雷问题 $L^p$-耗散性的必要且充分条件。
• 当 $\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 不对称时，同一代数条件是算子 $\nabla^t(\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla) + \mathbf{b}\nabla + a$ 的 $L^p$-拟耗散性的必要且充分条件。
• 该条件同样确保了由算子生成的半群的 $L^p$-拟压缩性，即存在某个 $\omega > 0$，使得由 $A - \omega I$ 生成的半群是压缩的。
• 对于 $\mathbb{R}^n$ 上的常系数算子，该条件提供了 $L^p$-耗散性的必要且充分准则。
• $L^p$-拟压缩半群的 $p$ 的范围由比值 $\frac{\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits(x)\xi,\xi\rangle}{|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits(x)\xi,\xi\rangle|}$ 的下确界决定，从而可导出 $p$ 的显式边界。
• 即使对于光滑系数，该结果也是全新的，并为相关半群的 $L^p$-压缩性提供了完整的代数刻画。